1、2023届广东省四校高三第一次联考 高三 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合A=x|xx-20，集合B=x|x2-3x+20，则AB= ()A. x|-2x1B. x|1x2C. x|0x2D. x|1x0，b0的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON(其中O为坐标原点)的中点B，且ON=2BM，则双曲线C的离心率为()A. 23B. 5C. 52D. 2二选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5
2、分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x10,y10).则下列结论正确的是()A. 若其经验回归方程为y=0.8x+1，当解释变量x每增加1个单位，预报变量y一定增加0.8个单位B. 若其经验回归方程y=bx+a必过点(3，2.25)，则x1+x2+x3+x10=y1+y2+y3+y10+7.5C. 若根据这组数据得到样本相关系数|r|0.98，则说明样本数据的线性相关程度较强D. 若用相关指数R2来刻画回归效果，回归模型1的相关指数R12=0.32，回归模型2的相关指数R22=0.68，则模型
3、1的拟合效果更好10.为了得到函数y=ln(ex)的图象，可将函数y=lnx的图象 ( )A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 B.向上平移一个单位长度C.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e倍 D.向下平移一个单位长度11.已知点O为坐标原点，直线y=x-1与抛物线y2=4x相交于A、B两点，则( )A.|AB|=8 B.OAOBC.AOB的面积为22 D.线段AB的中点到y轴的距离为212.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心，F是棱C1D1的中点，若点P为线段BD1上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是( )A.PEPF的最
4、小值为148B.若BP=2PD1，则平面PAC截正方体所得的面积为98C.若D1N与AB所成的角为4，则N点的轨迹为双曲线的一部分D.若正方体绕BD1旋转角度后与其自身重合，则的最小值是23三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 已知函数f(x)=xlnx-x，则函数f(x)的零点个数为_个.14. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b-c=14a，2sinB=3sinC，则cosA的值为_.AaDaBaCaFaE15. Sn是公差为2的等差数列an的前n项和，若数列Sn+1也是等差数列，则a1=_.16. 在Rt ABC中，已知A=60o，C=90o
5、，AC=4，则ABC的内接正DEF边长的最小值为_.四解答题: 本题共6小题，共 70 分 17.（10分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n+3.（1）求数列an的通项公式；（2）保持数列an中各项先后顺序不变，在ak与ak+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记bn的前项和为Tn，求T50的值.18.（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，若ABAC=DBDC .（1）证明：AD平分BAC；（2）若ABC为锐角三角形，AB=7，AC=8，C=3，求AD的长.19.（12分）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要
6、标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图频率组距频率组距常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并依据小概率值=0.01的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关?睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是
7、否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X，求X的分布列及数学期望;（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为Y，求Y的方差参考公式：，其中0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82820.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，ADC=90，AB=2CD=2，AD=3，PA=6，侧面PBC为等边三角形.（1）求证：平面PBC平面ABCD；（2）在棱PD上是否存在点Q，使得二面角A-BC-Q的
8、大小为4？若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知椭圆x24+y2=1的左右顶点为A、B，直线l: x=1.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.（1）记直线AM,AN的斜率分别为k1、k2，求k1k2的值;（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.22.（12分）已知f(x)=ex-ax（1）求f(x)的单调区间;（2）当a=e时（e为自然对数的底数），若对于x(0,+)，不等式f(x)t(x2-x-xlnx) 恒成立，求实数t的取值范围.2023 届广东省四校高三第一次联考数学试题参考答案一、选择题：本题共 8
9、小题，每小题 5 分，共 40 分 题号12345678答案DACABCAD二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9. BC 10. BC 11. AC 12. BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 1 14. -14 15.-1或3 16. 4217四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17.(10分）（1）当时，即 -1分当， -3分显然不符合上式，所以数列的通项公式为 -5分（2）因为在与之间插入个1，所以在中对应的项数为当时，当时，所以，且， - 8分 -10分18.（12分）解：（1）在三角形ABD中，由正弦定理得ABsi
10、nADB=DBsinBAD，在三角形ACD中，由正弦定理得ACsinADC=DCsinCAD， -2分因为ADB与ADC互补，所以sinADB=sinADC，由题意得ABAC=DBDC，所以sinCAD=sinBAD，即CAD=BAD，所以AD平分BAC. 得证； -5分（2）ABC中，由余弦定理 cosC=a2+b2-c22ab得：cos3=a2+82- 7228a 解得a=3或a=5 -7分若a=3,则有：a2+c2b2,则B为锐角，合题意，所以a=5 由（1）知：ABAC=DBDC=78 ,所以BD=73 ，DC=83 -10分在ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2-2ACCD
11、cos3 解得：AD=837 所以 AD=837 -12分19.（12分）解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,则“睡眠不足”的人数为45；列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200 -2分零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关因为2=200(7545-5525)2130100701008.7916.635 -4分根据小概率值=0.01的独立性检验，推断不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. -5分（2）由题意知，常参加体育锻炼的
12、样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人-6分从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2.，；所以分布列为012 -9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）数学期望 -10分（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为75100=34， 由题意知：YB(3，34) -11分D(Y)=33414 = 916 -12分20.（12分）解：（1）取BC中点E，连接AE、PE，连接AC.PCB为等边三角形，PEBC， -1分ADC=90，AD=3，DC=1AC=2 又AB/CD ，CAB=60，又AC
13、=AB ，ACB为等边三角形，BC=2，AEBC且AE=3PE=3 -3分PAE中PA2=PE2+AE2PEA=90，PEAE， 又AE面ABC，BC面ABCD，且AEBC=EPE面ABCD， -4分又PE面PCB，面PCB面ABCD. -5分（2）由（1），以点E为坐标原点，建系如图，则E(0,0,0)，A(3,0,0），B(0,1,0)，C(0,-1,0)，P(0,0,3)，D(32,-32,0)，则PD=(32,-32,-3) -6分假设存在点Q，使得二面角A-BC-Q的大小为4，则设PQ=PD=(32,-32,-3)，0,1， -7分则Q(32,-32,3(1-)，显然面ABC的一个法
14、向量为n1=(0,0,1)，-8分又CB=(0,2,0)，CQ=(32,1-32,3(1-)，设面BCQ的一个法向量为n2=(x,y,z)，则 CBn2=0CQn2=0 ， 即y=032x+(1-32)y+3(1-)z=0解得 n2=(2-2,0,1) ，-10分由题 |cos=22|，1(2-2)2+1=22，解得=23 或者=2（舍） -11分则PQPD=23 . -12分21. (12分）(1)由已知可得MN为圆G的直径，则记M(1,m),N(1,n)，则mn=-1kAMkAN=m3n3=-19 -4分(2)kAMkAN=kAPkAQ=-19 -5分 由已知直线PQ存在斜率，记其方程为代
15、入有记，则当时有-7分，代入（1）式化简有当过定点（1013，0）当时，过定点A（-2，0），舍去-11分综上有，直线过定点（1013，0）-12分22. （12分)解：f(x)=ex-a(1)当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递增 -1分当a0时，由f(x)=ex-a=0，x=lna当xlna 时，f(x)lna 时，f(x)0，f(x)在（lna，+）上单调递增 -3分综上有：当a0时，f(x)在R上单调递增； 当a0时，f(x)在（-，lna）上单调递减，f(x)在（lna，+）上单调递增.-4分（2）由已知f(x)=ex-ex,因为对于x(0,+)，ex-ext(x2-x-xlnx)所以exx-et(x-1-lnx)ex-lnx-et(x-1-lnx)设m=x-lnx1,+）,则em-et(m-1),m1,+）-7分em-tm_+t-e0,m1,+）记(x)=ex-tx+t-e, x1,+）(x)=ex-t当te时，(x)0，(x)在1,+)上单调递增; (x)(1)=0恒成立.-9分当te时，(x)=0，x=lnt(1,+),(x)在(1,lnt)上单调递减，则(lnt)(1)=0与(x)0矛盾；-11分综上，当te时，x1,+)(x)0恒成立，即ex-ext(x2-x-xlnx)恒成立.-12分