1、第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,3,9,12裂项相消法求和5,10错位相减法求和6,11,15数列的综合应用4,7,13,14数列的实际应用8基础对点练(时间:30分钟)1.若数列an的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则a1+a2+a3+a100等于(D)(A)-200(B)-100(C)200(D)100解析:由题意知,a1+a2+a3+a100=-1+3-5+(-1)100(2100-1)=(-1+3)+(-5+7)+(-197+199)=250=100.故选D.2.已知数列an的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等
2、于(D)(A)13 (B)10(C)9 (D)6解析:因为an=1-,所以Sn=n-(+)=n-1+,而=5+,令n-1+=5+,得n=6.故选D.3.已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(C)(A)或5(B)或5(C) (D)解析:设an的公比为q,由题意知q1,所以由=,解得q=2.所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以S5=,故选C.4.(2016安徽安庆一模)各项均不为零的等差数列an中,若-an-1-an+1=0(nN*,n2),则S2 017等于(D)(A)0 (B)2(C)2 017 (D)4 034解析:=an-1+an+1=
3、2an,an0,所以an=2,所以Sn=2n,S2 017=22 017=4 034.故选D.5.+的值为(C)(A) (B)-(C)-(+)(D)-+解析:因为=(-),所以+=(1-+-+-+-)=(-)=-(+).故选C.6.Sn=+等于(B)(A) (B)(C)(D)解析:由Sn=+,得Sn=+, -得,Sn=+-=-,所以Sn=.7.(2016广西桂林一模)已知数列an中,an+1=2an,a3=8,则数列log2an的前n项和等于.解析:因为=2,a3=8,所以a2=4,a1=2,所以数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n,所以log2an=n,所以数列log2a
4、n的前n项和等于.答案:8.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=.解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为an,由题意知,a1=10,an+an-1+an-2=114,=a1an.所以3an-1=114,即an-1=38.(a1+5d)2=a1(an-1+d),所以(10+5d)2=10(38+d),即5d2+18d-56=0,解得d=2或d=-(舍去).所以an-1=10+(n-2)2=2n+6=38,所以n=16.答案:169.导学号 18702264对于数
5、列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若a1=2,an的“差数列”的通项公式为2n,则数列an的前n项和Sn=.解析:因为an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.所以Sn=2n+1-2.答案:2n+1-210.导学号 18702265已知数列an的前n项和是Sn,且Sn+an=1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3(1-Sn+1)(nN*),求适合方程+=的正整数n的值.解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=,当n
6、2时,因为Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,所以Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),所以an=an-1(n2),所以an是以为首项,为公比的等比数列,故an=()n-1=2()n(nN*).(2)1-Sn=an=()n,bn=log3(1-Sn+1)=log3()n+1=-n-1.=-,+=(-)+(-)+(-)=-,解方程-=,得n=100.11.导学号 18702267已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的前n项和Tn.解
7、:(1)依题意得,解得所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1(nN*).(2)=3n-1,bn=an3n-1=(2n+1)3n-1Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1, 3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n, -得-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=3+2-(2n+1)3n=-2n3n,所以Tn=n3n(nN*).能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702268在数列an中,a1=1,a2=2,且-an=1+(-1)n(nN+),则S100等于(B)(A)1 300 (B)2 600(C
8、)0 (D)2 602解析:原问题可转化为当n为奇数时,an+2-an=0;当n为偶数时,an+2-an=2.进而转化为当n为奇数时,为常数列1;当n为偶数时,为首项为2,公差为2的等差数列,所以S100=S奇+S偶=501+(502+2)=2 600.故选B.13.导学号 18702269Sn是等比数列an的前n项和,a1=,9S3=S6,设Tn=a1a2a3an,则使Tn取最小值的n值为(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9=,解得q=2,故=an=2n-1,易得当n5时,1,即TnTn-1,据此可得T5为最小值.故选C.14.(2016黑
9、龙江哈尔滨一模)设nN*,an是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标,设bn=,则数列bn前n项和Sn=.解析:y=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线的斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标an=1-=,则bn=,所以Sn=(1-)+(-)+(-)=1-=.答案:15.(2016山东泰安一模)已知等比数列an的公比q1,a1=1,且a1,a3,a2+14成等差数列,数列bn满足:a1b1+a2b2+anbn=(n-1)3n+1(nN*).(1)求数列an和bn的通项公式;(2
10、)若manbn-8恒成立,求实数m的最小值.解:(1)因为等比数列an满足:a1=1,且a1,a3,a2+14成等差数列,所以2a3=a1+a2+14,即2a1q2=a1+a1q+14,所以2q2-q-15=0,所以q=3或q=-,又q1,所以q=3,所以an=3n-1.因为a1b1+a2b2+anbn=(n-1)3n+1, 所以当n2时,有a1b1+a2b2+an-1bn-1=(n-2)3n-1+1, -可得anbn=(2n-1)3n-1(n2),所以bn=2n-1(n2),又n=1时,可求得b1=1,符合bn=2n-1,故bn=2n-1.(2)若manbn-8恒成立,则m恒成立,令Cn=,
11、则Cn+1-Cn=-=.当Cn+1=Cn,即n=5时,C5=C6,当Cn+1Cn,即n5时,C1C2C3C4C5,当Cn+15时,C6C7C8.所以Cn的最大值为C5=C6=,所以m,所以m的最小值为.好题天天练导学号 18702271已知ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积S=4,B=60,且a2+c2=2b2;等差数列an中,a1=a,公差d=b.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=求数列cn的前(2n+1)项和P2n+1.解:(1)因为S=acsin B=4,所以ac=16.又a2+c2=2b2,b2=a2+c2-2accos B,所以b2=ac=16,所以b=4.从而(a+c)2=a2+c2+2ac=64a+c=8,所以a=c=4,故可得所以an=4n.因为Tn-2bn+3=0, 所以当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0, -,得bn=2bn-1(n2),所以数列bn为等比数列,所以bn=32n-1.(2)cn=P2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(b2+b4+b2n)=+=22n+1+4n2+8n+2.