1、专题检测（二十四） 不等式选讲大题专攻强化练1(2019昆明市质量检测)已知函数f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)f(x1)4；(2)当x0，xR时，证明：f(x)f4.解：(1)不等式f(x)f(x1)4等价于|2x1|2x1|4，等价于或或解得x1或x1，所以原不等式的解集是(，11，)(2)证明：当x0，xR时，f(x)f|2x1|，因为|2x1|2|x|4，当且仅当即x1时等号成立，所以f(x)f4.2(2019沈阳市质量监测(一)设ab0，且ab2，记的最小值为M.(1)求M的值，并写出此时a，b的值；(2)解关于x的不等式：|3x3|x2|M.解：(1)因为ab0，所以ab
2、0，0，根据基本不等式有ab4，当且仅当即时取等号，所以M的值为4，此时a1，b1.(2)当x1时，原不等式等价于(3x3)(2x)4，解得x；当1x4，解得x4，解得x2.综上所述，原不等式的解集为.3已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(x1)5.(2)若|a|1，且f(ab)|a|f，证明：|b|2.解：(1)不等式f(x)f(x1)5等价于|x2|x1|5，当x2时，(x2)(x1)5，x4；当1x2时，(2x)(x1)5，15，无解；当x|a|f|ab2|a|ab2|b2a|(ab2)2(b2a)2a2b24b24a20(a21)(b24)0.因为|a|1，所以a210
3、，所以b240，|b|2.4已知a，b(0，)，且2a4b2.(1)求的最小值；(2)若存在a，b(0，)，使得不等式|x1|2x3|成立，求实数x的取值范围解：(1)由2a4b2可知a2b1，又因为(a2b)4，由a，b(0，)可知42 48，当且仅当a2b时取等号，所以的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x1|2x3|8，所以x.无解，所以x4.综上，实数x的取值范围为4，)5(2019济南市模拟考试)已知函数f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式f(x)ax的解集为空集，求实数a的取值范围解：(1)法一：由题意f(x)当x时，f(x)3x3
4、3，解得x0，即0x，当x2时，f(x)x13，解得x2，即xax对任意xR恒成立，即函数yax的图象始终在函数yf(x)的图象的下方，当直线yax过点A(2，3)以及与直线y3x3平行时为临界情况，所以3a，即实数a的取值范围为.6(2019广州市调研测试)已知函数f(x)|xa|(aR)(1)当a2时，解不等式f(x)1；(2)设不等式f(x)x的解集为M，若M，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，原不等式可化为|3x1|x2|3，当x时，13x2x3，解得x0，所以x0；当x2时，3x12x3，解得x1，所以1x2；当x2时，3x1x23，解得x，所以x2.综上所述，当a2时，不等式的
5、解集为.(2)不等式f(x)x可化为|3x1|xa|3x，依题意不等式|3x1|xa|3x在x上恒成立，所以3x1|xa|3x，即|xa|1，即a1xa1，所以解得a，故实数a的取值范围是.7(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(
6、z1)2的最小值为.(2)证明：因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.8(2019江西省五校协作体试题)已知函数f(x)|x1|3xa|，若f(x)的最小值为1.(1)求实数a的值；(2)若a0，m，n均为正实数，且满足mn，求m2n2的最小值解：(1)f(x)|x1|3xa|，当a3，即1时，f(x)f(1)f0，f(1)f，则当x时，f(x)min41a1，a6.当a3，即1时，f(x)f(1)f(3a)0，f(1)f，则当x时，f(x)min41a1，a0.当a3，即1时，f(x)4|x1|，当x1时，f(x)min0不满足题意综上，a0或a6.(2)由题意知，mn3.m0，n0，(mn)2m2n22mn(m2n2)(m2n2)2(m2n2)，即m2n2(mn)2，当且仅当mn时取“”m2n2，m2n2的最小值为.