1、31.3函数的奇偶性第一课时奇偶性的概念新课程标准解读核心素养1.理解奇函数、偶函数的定义数学抽象、逻辑推理2.了解奇函数、偶函数图像的特征直观想象、数学运算3.掌握判断函数奇偶性的方法逻辑推理、数学运算在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影问题(1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“部分”对称？(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？知识点函数的奇偶性1偶函数(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为偶函数；(2)图像特征：图像关于y轴对
2、称2奇函数(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为奇函数；(2)图像特征：图像关于原点对称理解函数奇偶性的注意点(1)函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性；(2)若奇函数f(x)在x0处有定义，则根据定义可得，f(0)f(0)，即f(0)0，即奇函数的图像过原点；(3)若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)0，xD，D是关于原点对称的非空数集 如果定义
3、域内存在x0，满足f(x0)f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立1下列说法正确的是_(填序号)偶函数的图像一定与y轴相交奇函数的图像一定通过原点函数f(x)x2，x1，2是偶函数若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.答案：2若函数yf(x)，x1，a是奇函数，则a_答案：13下列函数是偶函数的是_(填序号)yx；y2x23；y；yx2，x0，1答案：4下列图像表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)解析：关于y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数答案：5若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则f(3)_，f(0)_
4、解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)f(3)2，f(0)0.答案：20判断函数的奇偶性例1(链接教科书第106页例1)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x) ；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x
5、0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图像法注意对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式 跟踪训练1(多选)下列函数是奇函数的是()Ayx3By(x0)Cyx31 Dy解析：选ADA中函数的定义域为R，f(x)x3，f(x)(x3)f(x)，则函数f(x)是奇函数；B中函数的定义域关于原点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；C中函数的定义域为R，f(0)0110，则函数f(x)为非奇非偶函数；D中函数的定义域为(，
6、0)(0，)，f(x)f(x)，则函数f(x)是奇函数，故选A、D.2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解：(1)xR，关于原点对称，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，关于原点对称，又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1，0)(0，1，关于原点对称，又f(x)f(x)，f(x)为奇函数.奇、偶函数的图像问题例2已知奇函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图像如图所示(1)画出在区间5，0上的图像；(2)写出使
7、f(x)0的x的取值集合解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5，5上的图像关于原点对称由yf(x)在0，5上的图像，可知它在5，0上的图像，如图所示(2)由图像知，使函数值y0的x的取值集合为(2，0)(2，5)母题探究(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解：(1)图像如图所示，(2)由(1)可知，使函数值y0的x的取值集合为(5，2)(2，5)巧用奇、偶函数的图像求解问题(1)依据：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称；(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图像的问题 跟踪训练如图是函数f(x)在区间0，
8、)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据解：因为f(x)，所以f(x)的定义域为R.又对任意xR，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示利用函数的奇偶性求参数例3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1，2a，则a_，b_；(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b0.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，所以
9、f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，所以g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.答案(1)0(2)7利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数；(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解 跟踪训练1设函数f(x)为奇函数，则a_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即.显然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.答案：12已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析：因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，即(a1)(1
10、1)0，故a1.答案：11奇函数yf(x)(xR)的图像必定经过点()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a) D.解析：选Cyf(x)是奇函数，f(a)f(a)故选C.2函数f(x)的图像关于()Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线yx对称解析：选B由得f(x)的定义域为，0)(0， ，关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)是奇函数，f(x)的图像关于原点对称3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x3，则f(2)的值是()A8 B8C. D解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)f(2)(2)38，故选B.4函数f(x)为奇函数，则实数a_解析：由题得f(x)为奇函数，则f(0)0，即02a30，a，此时f(x)为奇函数答案：5已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式解：f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2，又f(x)g(x)x2x2，两式联立得f(x)x22，g(x)x.