1、专题十七概率本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019四川绵阳二诊)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则()AP1P2 BP1P2CP1P2 DP1P2答案C解析三辆车
2、的出车顺序可能为：123,132,213,231,312,321，方案一坐“3号”车可能：132,213,231，所以P1；方案二坐“3号”车可能：312,321，所以P2；所以P1P2.故选C.2(2019山东第一次大联考)我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形ABCD所围成的区域记为，在圆内且在正方形ABCD外的部分记为，在圆外且在大正方形内的部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为P1，P2，P3，则()AP1P2P3 BP1P3P2CP1P2P3 DP1P2P3答案A解析将图转
3、化为如图，易知小正方形的面积是大正方形面积的一半，故选A.3(2019四川省达州市第一次诊断)b是区间2，2上的随机数，直线yxb与圆x2y21有公共点的概率为()A. B. C. D.答案C解析b是区间2，2上的随机数即2b2，区间长度为4，由直线yxb与圆x2y21有公共点可得，1，b，区间长度为2，直线yxb与圆x2y21有公共点的概率P.故选C.4(2019郴州二模)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是()A1 B. C. D.答案D解析甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，甲排在左边的概率是.故
4、选D.5(2019辽宁质量测试)从甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中且乙未被选中的概率是()A. B. C. D.答案B解析4个人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁六种，其中甲被选中且乙未被选中的事件有甲丙、甲丁两种，故概率为.故选B.6(2019茂名综合测试)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A. B. C. D.答案A解析在1,2,3,6中随机取出三个数，所有可能的结果为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)，共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1,2,3)
5、，共1种由古典概型概率计算公式可得所求概率为P.故选A.7(2019孝义模拟)从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是()A. B. C. D.答案C解析记3个红球分别为a，b，c,3个黑球分别为x，y，z，则随机取出两个小球共有15种可能：ab，ac，ax，ay，az，bc，bx，by，bz，cx，cy，cz，xy，xz，yz，其中两个小球同色共有6种可能：ab，ac，bc，xy，xz，yz，根据古典概型概率计算公式可得所求概率为，故选C.8. (2019唐山模拟)下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形
6、区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为()A8 B9 C10 D12答案B解析根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S449.故选B.9(2019青海联考)下图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC2，AC4，在ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为()A. B. C. D.答案B解析设正方形DEFC的边长为x，则，x，因此所求概率为，故选B.10. (2019郑州质检)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角
7、三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为()A. B. C. D.答案C解析设正方形的边长为2，则由几何概型的概率计算公式知所求概率为.故选C.11(2019陕西名校联考)齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A. B. C. D.答案C解析设齐王的上等、中等、下等马分
8、别为A，B，C，田忌的上等、中等、下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6种，齐王的马获胜的概率为P，故选C.12(2019咸阳二模)假设某人的手机在一天内收到1条、2条、3条垃圾短信的概率分别为0.5、0.3、0.2，则该手机明天和后天一共收到至少5条垃圾短信的概率为()A0.1 B0.16 C0.2 D0.5答案B
9、解析某人的手机在一天内收到1条、2条、3条垃圾短信的概率分别为0.5、0.3、0.2，该手机明天和后天一共收到至少5条垃圾短信的概率为0.30.20.20.30.20.20.16.故选B.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019全国卷)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_答案0.98解析0.98.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.14(2019长春质检二)
10、若向区域(x，y)|0x1，0y1内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为_答案解析如图，由题意知区域的面积为1，在区域内，到原点的距离小于1的区域为阴影部分，即四分之一个圆，其面积为，所以所求概率为.15(2019江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_答案解析解法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为
11、.解法二：同解法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1.16(2019合肥质检二)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：006：00之间送货上门已知小李下班到家的时间为下午5：306：00.快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放在快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于_答案解析设快递员到小李家的时间为5点x分，小李到家的时间为5点y分，则依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足则可行域所表示的区域为图中阴影部分由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的可能性相等，进而依据几何概型的概率计算公式，可得小
12、李需要去快递柜收取商品的概率为.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2019宁德模拟)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”每次租车的收费标准由两部分组成，里程计费：1元/公里；时间计费：0.12元/分已知陈先生的家离上班公司12公里，每天上、下班租用该款汽车各一次一次路上开车所用的时间记为t(分)，现统计了50次路上开车所用的时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示：时间t(分)20,30)30,40)40,50)50,60次数122882将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车
13、时间，范围为20,60分(1)估计陈先生一次租用新能源汽车的时间不低于30分钟的概率；(2)若公司每月发放800元的交通补贴，请估计是否足够让陈先生一个月上、下班租用新能源汽车，并说明理由(每月上班天数按22天计算，同一时段，用该区间的中点值作代表)解(1)设“陈先生一次租用新能源汽车的时间不低于30分钟”为事件A，则所求的概率为P(A)1P()1，所以陈先生一次租用新能源汽车的时间不低于30分钟的概率为.(2)每次开车所用的平均时间为2535455535(分)，则每次租用新能源汽车的平均费用为1120.123516.2(元)，则每个月的费用为16.2222712.8(元)，712.8800，
14、因此交通补贴足够让陈先生一个月上、下班租用新能源汽车18(本小题满分12分)(2019天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访ABCDEF子女教育继续教育大
15、病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种由表格知，符合题意的所有结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共11种所以，事
16、件M发生的概率P(M).19(本小题满分12分)(2019北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月
17、没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由解(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27330(人)，仅使用B的学生有24125(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540(人)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为1000400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1
18、人，该学生本月的支付金额大于2000元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)0.04.答案示例一：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例二：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定有没有变化20(本小题满分12分)(2019齐齐哈尔二模)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0,1,2,3的数字，小球除数字外
19、其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回抽奖活动的奖励规则是：若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；若取出的两个小球上数字之积在区间1,4上，则奖励汽车玩具一个；若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由解(1)基本事件总数有16个，分别为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)
20、，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，记“获得飞机玩具”为事件A，则事件A包含的基本事件有3个，分别为：(2,3)，(3,2)，(3,3)，每对亲子获得飞机玩具的概率P(A).(2)记“获得汽车玩具”为事件B，“获得饮料”为事件C，事件B包含的基本事件有6个，分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，每对亲子获得汽车玩具的概率P(B)，每对亲子获得饮料的概率P(C)1P(A)P(B)，每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率21(本小题满分12分)(2019安徽皖南地区调研)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位
21、：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如下表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率解(1)a(2.5123123.5174204.5155135.5863)4.(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|yx|0，b0时，ax在上递减，在上递增；x和4x在(0，)上递增，对x1,2可使|f (x)g(x)|8恒成立的有x，x，x，4x，故事件A包含的基本事件有4种，P(A)，故所求概率是.(2)设事件B表示f (x)和g(x)是“友好函数”，a是从区间1,4中任取的数，b是从区间1,4中任取的数，点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域要使x1,2时，|f (x)g(x)|8恒成立，需f (1)g(1)ab8且f (2)g(2)2a8，事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分P(B)，故所求概率是.