1、立体几何一、 单选题1已知三棱锥的所有棱长为1是底面内部一个动点（包括边界），且到三个侧面，的距离，成单调递增的等差数列，记与，所成的角分别为，则下列正确的是ABCD解：依题意知正四面体的顶点在底面的射影是正三角形的中心，由余弦定理可知，其中，表示直线与的夹角，同理可以将，转化，其中，表示直线与的夹角，其中，表示直线与的夹角，由于是公共的，因此题意即比较与，夹角的大小，设到，的距离为， 则，其中是正四面体相邻两个面所成角，所以，成单调递增的等差数列，然后在中解决问题由于，可知在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，与所成角小于与所成角，所以，故选：2一正方体的棱长为，作一平面与正方体一条体
2、对角线垂直，且与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为，则ABCD以上都不正确解：连结，则平面，设平面与平面的交线为，则，同理可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设，则，得，同理可得六边形其他相邻两边的和为，六边形的周长为定值故选：3已知平面与互相垂直，与交于，和分别是平面，上的直线若，均与既不平行也不垂直，则与的位置关系是A可能垂直，但不可能平行B可能平行，但不可能垂直C可能垂直，也可能平行 D既不可能垂直，也不可能平行解：假设，因为与既不垂直，也不平行，所以，过在内作直线，如图所示，因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，这与与既不垂直，也不平行矛盾，故假
3、设不成立，所以与不垂直，同理与也不垂直；假设，则，所以，这与和与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以与不平行综上所述，与的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行故选：4如图，正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是A B异面直线与不可能垂直C不可能是直角或者钝角D的取值范围是解：正方体中，为线段上的动点，对于，在平面的投影为的一部分，故正确；对于，若，又，是平面内的两条相交线，平面，则，与矛盾，异面直线与不可能垂直，故正确；对于，与两条平行线间的距离为1，则以为直径的圆与相离，则在圆外，不可能是直角或者钝角，故正确；对于，当为线段中点时，故错误故选：5如图，在三棱柱中，底面，点是上的动
4、点下列结论错误的是A B存在点，使得平面C不存在点，使得平面平面 D三棱锥的体积是定值解：对于，在三棱柱中，底面，又，平面，平面，平面，又平面，故正确；对于，设，则是中点，连结，则是中点时，平面，平面，存在中点，使得平面，故正确；对于，在三棱柱中，底面，当时，由，是平面中的相交线，得到平面，平面，存在点，使得平面平面，故错误；对于，的面积是定值，平面，平面，平面，到平面的距离是定值，三棱锥的体积是定值，故正确故选：6在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是A，B，C，D，解：如下图所示：分别取棱、的中点、，连接，连接，、为所在棱的中点，又平面，
5、平面，平面；连接，由，可得，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，则平面又，平面平面又是上底面内一点，且平面，点在线段上在中，同理，在中，求得，则为等腰三角形当在的中点时，最小为，当与或重合时，最大为线段长度的取值范围是，故选：7已知三棱锥的所有棱长都为2，且球为三棱锥的外接球，点是线段上靠近的四等分点，过点作平面截球得到的截面面积为，则的取值范围为A，B，C，D，解：三棱锥为正四面体，棱长为2，将三棱锥放置于正方体中，可得正方体的外接球就是三棱锥的外接球，因为三棱锥的棱长为2，故正方体的棱长为，可得外接球的直径，故，故截面面积的最大值为，因为是上的点，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小
6、，此时球心到截面的距离为，为等腰三角形，过点作的垂线，垂足为，则，所以，则所得截面半径的最小值为，所以截面面积的最小值为，故的取值范围为，故选：8如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为ABCD解：取的中点，连接，且点的延长线过点，故平面，根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点，以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如图示：，故，故为等腰直角三角形，故，故，故，0，0，设，故，故，不妨设，当时取“”，故直线与夹角余弦值的最大值为：，故选：二、 多选题9已知，是两条互相垂直的
7、异面直线，下列说法中正确的是A存在平面，使得且B存在平面，使得 且 C若点，分别在直线，上，且满足，则一定有D过空间某点不一定存在与直线，都平行的平面解：对于，设，的公垂线为，其中，过作的平行线，设直线与确定的平面为平面，则，故正确；对于，过上一点作，设与所确定的平面为，则，故正确对于，设，的公垂线为，且，在上取异于的点，则平面，但显然与不垂直，故错误；对于，当空间一点在直线或直线上时，显然不存在与直线，都平行的平面，故正确故选：10在长方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是A B平面C平面D直线和所成角的余弦值为解：如图，对于，在底面上的射影为，故正确；对于，假设平面，则，而，则，而，
8、假设错误，故错误；对于，平面，平面，则平面，故正确；对于，直线与所成角为，连接，求解三角形可得，故正确故选：11如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是A存在某个位置，使得 B翻折过程中，的长是定值C若，则D若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是解：对于：如图1，取中点，连接交与，则，如果，可得到，又，且三线，共面共点，不可能，故错误对于：如图1，可得由（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，是定值，故正确对于：如图2，取中点，连接，由题意得面，即可得，从而，由题意不成立，可得错误对于：当平面平面时，三棱锥的体积最大，由题
9、意得中点就是三棱锥的外接球的球心，球半径为1，表面积是，故正确故选：12如图，已知四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点，则下列结论正确的是A平面平面BC平面平面D平面平面解：在中，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，平面，平面，平面平面，故正确；在中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，1，1，0，0，0，0，故正确；在中，1，0，1，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，平面与平面不垂直，故错误；在中，1，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，平面平面，故正确故选：三、 填空题13如图，正四面体中，平面，点在上，且，若四面体绕旋转，则直线在平
10、面内的投影与所成角的余弦值的取值范围是解：如图建系，设棱长为1，易知，又，则，绕着旋转可看做是绕着轴旋转，设旋转后的向量，易知，则可令，则，在平面的投影即为其在平面上的投影，故答案为：14在三棱锥中，分别为棱和棱上的动点，则的周长范围解：如图根据三角形的边长，将三棱锥侧面沿侧棱展开，如图，共线，此时两点间的连接线，即是的周长的最小值8，但此时，重合于，不能构成三角形，所以取不到8由图观察，当，分别在棱和棱上由向下移动时，的长度先变小，移动至分别与，垂直时，的长度最小，再向下移动逐渐变大，所以的周长最大为，故答案为：，15如图，在四面体中，用平行于，的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面
11、积的最大值为解：直线平行于平面，且平面交平面于，同理：，所以：，故：四边形为平行四边形又，的对称性，可知四边形为矩形设，根据二次函数的性质可知：面积的最大值为故答案为：16已知正四棱锥的底面边长为，高为，其内切球与面切于点，球面上与距离最近的点记为，若平面过点，且与平行，则平面截该正四棱锥所得截面的面积为解：取，中点，连结，取中点，连结，则，为正方形的中心，四棱锥是正四棱锥，平面，在中，同理，是正三角形，正四棱锥内切球的球心为正的内心，内切球的半径是正的内切圆半径为，内切球与平面的切点为正内切圆与直线的切点，为中点，球面上与距离最近的点为连结与球面的交点，即在之间，且，为中点，连结并延长交于，平面过，与直线平行，设平面分别与平面，平面交于，平面，又，同理可证，连结，则梯形为所求的截面，平面，平面，连结，则为的角平分线，是，的中点，而，又，截面梯形的面积为故答案为：
