1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十五)空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.ab,acB.ab,acC.ac,abD.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以ac.又ab=(-2)2+(-3)0+14=0,所以ab.2.(2015中山模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),
2、若a,b,c三向量共面,则实数等于()A.B.C.D.【解析】选D.因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),所以a与b不平行,又因为a,b,c三向量共面,则存在实数x,y使c=xa+yb,即解得=.故选D.【加固训练】(2014洛阳模拟)O为空间任意一点,若=+,则A,B,C,P四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断【解题提示】根据=x+y+z(x+y+z=1)P,M,A,B四点共面判断.【解析】选B.因为=+,且+=1,所以A,B,C,P四点共面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:(-)-;(+)-;(-)-2;(+)+.其中与向量
3、相等的是()A.B.C.D.【解析】选A.(-)-=-=;(+)-=-=;(-)-2=-2;(+)+=+=,综上,符合题意.4.(2015长沙模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|取最小值时, x的值为()A.19B.-C.D.【解析】选C.|=,所以当x=时,|min=.5.设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足=0,=0,=0,则BCD的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定【解题提示】通过,的符号判断BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选C.=(-)(-)=-+2=20,同理0,0.故BCD为锐角三角形.【加固训
4、练】(2014太原模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.(1,1,2)【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a0),则E.所以=(0,0,a),=,|=a,|=.又cos=,所以=,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015安庆模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a(a+b),则y的值为.【解析】a+b=(
5、-2,-1+y,5),由于a(a+b),所以a(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,答案:127.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度.【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E,所以=,所以|=.答案:8.(2015天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,(+)2=32;(-)=0;向量与向量的夹角是60;正方体ABCD-A1B
6、1C1D1的体积为|.其中正确的序号是.【解析】中,(+ )2= 2+2+2=32,故正确;中,-=,因为AB1A1C,故正确;中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60,但与的夹角为120,故不正确,中,|=0,故也不正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015银川模拟)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),c=(0,0,1).(1)计算3a-2b及ab.(2)求实数的值,使a+2b与c垂直.【解析】(1)因为a= (3,5,-4),b=(2,1,8),所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).ab=32+51-48=-21.(2
7、)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以a+2b=(3+4,5+2,-4+16),因为(a+2b)c,所以(a+2b)c=0.因为c=(0,0,1),所以0+0-4+16=0,解得=4.10.(2015唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0, 4),设a=,b=.(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,c,求c的坐标.【解析】(1)因为=(1,1,0),=(-1,0,2),所以ab=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=.所以cos=.(2)=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),因为|c|=3,c,所以=3,存在实数使得c=,即联立
8、解得或所以c=(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(2015宜宾模拟)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()A.-1B.C.D.【解析】选D.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=0,解得k=.2.(5分)二面角-l-为60,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面,内,ACl,BDl,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2aB.aC.aD.a【解题提示】选,为基向量,进行基向量运算求解.【解析】选A.因为ACl,
9、BDl,所以=60,且=0,=0,所以=+,所以|=2a.3.(5分)(能力挑战题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M,则1的概率p=.【解析】由题知正方体的体积为V=8,以A为原点建立空间直角坐标系,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴.那么A(0,0,0),A1(0,0,2),设M(x,y,z),那么x,y,z,所以=(x,y,z),=(0,0,2),1,即2z1,z.即点M与平面ABCD的距离大于等于,点M的轨迹是正方体的,其体积为V1=8,则1的概率p为.答案:4.(12分)(2014长春模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6)
10、,C(1,-1,5).(1)求以,为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos=.所以sin=,所以以,为边的平行四边形的面积为S=2|sin=14=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).5.(13分)(2015太原模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的模.(2)求cos的值.(3)求证:A1BC1M.【解析】如图,
11、建立空间直角坐标系.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|=.(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).所以=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,|=,|=,所以cos=.(3)依题意,得C1(0,0,2),M,=(-1,1,-2),=.所以=-+0=0,所以.所以A1BC1M.【方法技巧】用向量法解决空间垂直、平行位置关系与空间角计算的技巧.(1)基向量法:先选一组基向量,将其他向量都用基向量表示出来,然后根据向量的运算求解.(2)坐标法:根据条件建立适当的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,根据向量的坐标运算求解.关闭Word文档返回原板块