1、一创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求
2、思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题新定义问题的解题技法求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化典型例题 (1)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“
3、规范01数列”共有()A18个B16个C14个D12个(2)设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使得f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1，4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()A( ，0 B.C. D.【解析】(1)法一：不妨设a10，a81，a2，a3，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k8，都有a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，001010
4、11，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个法二：设a1，a2，a3，ak中0的个数为t，则1的个数为kt，由2m8知，k8且tkt0，则.当t1时，k1，2，当t2时，k2，3，4，当t3时，k3，4，5，6，当t4时，k4，5，6，7，8，所以“规范01数列”共有234514(个)法三：前同法二问题即是表示的区域内的整点(格点)的个数，如图整点(格点)为234514(个)，即“规范01数列”共有14个(2)方程ax23xax在区间1，4上有解，显然x1，所以方程ax23xax在
5、区间(1，4上有解，即求函数a在区间(1，4上的值域，令t4x5，则t(1，11，a，当t(1，0时，a0；当t(0，11时，00且an12nn1(2n2n3)an22nn2(2n2n5)，解得a.故选C.3(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，yS，都有xy，xy，xyS，则称S为封闭集下列命题：集合Sab|a，b为整数为封闭集；若S为封闭集，则一定有0S；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足STR的任意集合T也是封闭集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1b1a2b2(a1a2)(b1b2)S，a1b1(a2b2)(a1a2)(
6、b1b2)S，(a1b1)(a2b2)(a1a23b1b2)(a1b2a2b1)S，所以正确若S为封闭集，且存在元素xS，那么必有xx0S，即一定有0S，所以正确当S0时，S为封闭集，所以错误取S0，T0，1，2，3时，显然236T，所以错误答案：“新运算”问题新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题典型例题 (经典考题)当x1且x0时，数列nxn1的前n项和Sn12x3x2nxx1(nN*)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由xx2x3xn(nN*)按等比数列的求和公式，先求
7、得xx2x3xn，两边都是关于x的函数，两边同时求导，(xx2x3xn)，从而得到Sn12x3x2nxn1，按照同样的方法，请从二项展开式(1x)n1CxCx2Cxn出发，可以求得，Sn12C23C34Cn(n1)C(n4)的值为_(请填写最简结果)【解析】依题意，对(1x)n1CxCx2Cx3Cxn两边同时求导，得n(1x)n1C2Cx3Cx2nCxn1，取x1，得C2C3CnCn2n1，2得，2C22C23C2nCn2n，再对式两边同时求导， 得n(n1)(1x)n212C23Cxn(n1)Cxn2，取x1，得12C23Cn(n1)Cn(n1)2n2，得12C23C34Cn(n1)Cn2n
8、n(n1)2n2n(n3)2n2.【答案】n(n3)2n2对点训练1(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：选B.若a(m，n)与b(p，q)共线，则mqnp0，依运算“”知ab0，故A正确，由于abmqnp，又banpmq，因此abba，故B不正确由于a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)mqnp，故C正确(ab)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2
9、(p2q2)(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正确2(经典考题)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称an是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项a11，公差d0.若an是“H数列”，求d的值解：(1)证明：由已知，当n1时，an1Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数mn1，使得Sn2nam.所以an是“H数列”(2)由已知，得S22a1d2d.因为an是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因为d0
10、，所以m20，故m1.从而d1.当d1时，an2n，Sn是小于2的整数，nN*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m2Sn2，使得Sn2mam，所以an是“H数列”因此d的值为1.二古代算术与现代高考我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中九章算术中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合典型例题 (1)(2018高考浙江卷)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五
11、；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_【解析】(1)因为z81，所以解得(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S661.【答案】(1)811(2)对点训练1(名师原创)九章算术是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”：“
12、今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为()A.B.C. D.解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列an，公差为d.则，即，解得a1，d.中间为第五节，即a5a14d4().故选C.2(名师原创)九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去
13、锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈10尺100寸，3.14，sin 22.5)A600立方寸 B610立方寸C620立方寸 D633立方寸解析：选D.连接OA、OB，OD，设的半径为R，则(R1)252R2，所以R13.sinAOD.所以AOD22.5，即 AOB45.所以S弓形ACBS扇形OACBSOAB10126.33平方寸所以该木材镶嵌在墙中的体积为VS弓形ACB100633立方寸选D.3(名师原创)中
14、国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为_解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得：(5.4x)31()2x12.6，解得x1.6.答案： 1.6三学科间的渗透数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明了数学与自然科学的关系十分密切，数学知识经常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力典型例题 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(
15、单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克B75ln 2太贝克C150ln 2太贝克 D150太贝克【解析】因为M(t)ln 2M02，所以M(30)ln 2M0210ln 2，解得M0600，所以M(t)6002，所以t60时，铯137的含量为M(60)6002600150(太贝克)，故选D.【答案】D对点训练1(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不
16、同的碱基A，C，G，U占据，各种碱基能够以任意次序出现，若有一类RNA分子由100个碱基组成，则共有多少种不同的RNA分子()A400种B1004种 C4100种DA种解析：选C.100个碱基组成的长链共有100个位置，每个位置从A、C、G、U中任选一个填入，有4种方法所以共有不同的RNA分子的个数为4100.故选C.2正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A8B6 C4D3解析：选B.利用图形进行求解因为反弹时反射角等于入射角，所以1
17、2.又因为tan12，所以tan22.又tan2，所以HC，所以DG.从此以后，小球的反射线必与EF或FG平行，由图可知，P与正方形的边碰撞的次数为6.3里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍解析：当A00.001，A1 000时，Mlg Alg A0lg 1 000lg 0.001lglg 1066；设9级地震的最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，则9lg A9lg A0，5lg A5lg A0，所以lg A9lg A54，即lg4，所以10410 000.答案：610 000