1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 直接证明与间接证明基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.分析法和综合法的思考过程和特点，A级要求；2.反证法的思考过程和特点，A级要求基础诊断考点突破课堂总结1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质 由因导果执果索因成立充分基础诊断考点突破课堂总结续表框图表示PQ1Q1Q2 QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证
2、基础诊断考点突破课堂总结2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明的证明方法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立不成立矛盾原命题成立基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论
3、“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()基础诊断考点突破课堂总结2(2014山东卷改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_解析 因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案 方程x3axb0没有实根基础诊断考点突破课堂总结3 设 a lg 2 lg 5，b ex(x0)，则 a 与 b 的 大 小 关 系 为_解析 alg 2lg 51，bex，当x0时，0bb.答案 ab基础诊断考点突破课堂总结4若 a，b，
4、c 为实数，且 ab0，给出下列四个不等式：ac2abb2；1aab.则上述不等式正确的个数为_解析 a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案 1基础诊断考点突破课堂总结5在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_解析 由题意 2BAC，又 ABC，B3，又 b2ac，由余弦定理得 b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，基础诊断考点突破课堂总结AC，ABC3，ABC 为等边三角形答案 等边三角形基础诊断考点突破课堂
5、总结考点一 综合法的应用【例 1】设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac13；(2)a2b b2c c2a1.证明(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.基础诊断考点突破课堂总结所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.当且仅当 abc13时，等号成立(2)因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2a1.当且仅当 abc13时，等号成立基础诊断
6、考点突破课堂总结规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】在ABC 中，设CBa，CAb，求证：SABC12|a|2|b|2ab2.证明 SABC12|a|b|sin C，cos C ab|a|b|，S2ABC14|a|2|b|2sin2C14|a|2|b|2(1cos2C)基础诊断考点突破课堂总结14|a|2|b|21ab|a|
7、b|214|a|2|b|2(ab)2SABC12|a|2|b|2ab2.基础诊断考点突破课堂总结考点二 分析法的应用【例2】已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明 要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式
8、或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证只需证”或用“”注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】已知 m0，a，bR，求证：amb1m2a2mb21m.证明 m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证 m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证.基础诊断考点突破课堂总结考点三 反证法的应用【例3】设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列
9、(1)解 设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1.qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，基础诊断考点突破课堂总结Sna11qn1q，Snna1，q1，a11qn1q，q1.(2)证明 假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列基础诊断考点突破课堂总结规律方法 用反证法证明不
10、等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知a0，证明关于x的方程axb有且只有一个根证明 由于 a0，因此方程至少有一个根 xba.假设 x1，x2 是它的两个不同的根，即 ax1b，ax2b，由得 a(x1x2)0，因为 x1x2，所以 x1x20，所以 a0，这与已知矛盾，故假设错误所以当 a0 时，方程 axb 有且只有一个根.基础诊断考点突破
11、课堂总结思想方法1综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件基础诊断考点突破课堂总结2分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来3利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的基础诊断考点突破课堂总结易错防范注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.
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