1、第4讲直线、平面垂直的判定与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2015南通、扬州、泰州、宿迁调研)设l，m表示直线，m是平面内的任意一条直线，则“lm”是“l”成立的_条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一个)解析因为m是平面内的任意一条直线，若lm，则l，所以充分性成立；反过来，若l，则lm，所以必要性成立，故“lm”是“l”成立的充要条件答案充要2设a是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，给出下列说法：过a一定存在平面，使得；过a一定存在平面，使得；在平面内一定不存在直线b，使得ab；在平面内一定不存在直线b，使得ab.其中说法正
2、确的是_(填序号)解析当a与相交时，不存在过a的平面，使得，故错误；直线a与其在平面内的投影所确定的平面满足，正确；平面内的直线b只要垂直于直线a在平面内的投影，则就必然垂直于直线a，故错误；当a与平行时，在平面内存在直线b，使得ab，故错误答案3(2014盐城模拟)已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有_条解析如图所示，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MNAA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN平面ABCD.答案14(
3、2015青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出ab的是_(填序号)a，b，；a，b，；a，b，；a，b，.解析中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；中，两直线平行，故不正确；中，由，a可得a，又b，得ab，故正确；中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确答案5. 如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPC
4、C，AF平面PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正确答案6. (2015深圳调研)如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，给出下列结论：平面ABC平面ABD；平面ABD平面BDC；平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE；平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE.其中结论正确的序号是_解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.所以正确答案7如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD
5、，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析PC在底面ABCD上的射影为AC，且ACBD，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC)8如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.解析连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D
6、1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)答案6二、解答题9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AC2BC，D是棱AA1的中点，CDB1D.(1)证明：CDB1C1；(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DCDC1，又AA12A1C1，可得DCDC2CC，所以CDDC1，而CDB1D，B1DC1DD，所以CD平面B1C1D，因为B1C1平面B1C1D，所以CDB1C1.(2)解由(1)知B1C1CD，且B1C1C1C，C1CCDC，则B1C1平面ACC1A1，设V1是平面
7、CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1VB1CDA1C1S梯形CDA1C1B1C1B1CB1C.V总VABCA1B1C1ACBCCC1B1C，V2V总V1B1CV1，故11.10(2014镇江模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四
8、边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.又因为PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.又E，F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.故CDEF，由EF，BE平面BEF，且EFBEE.所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2015南京模拟)已知m，n是不重合的两条直线，是不重合的两个平面下列命题：若，m，则m；若m，m，则；若m，mn，则n；若m，m，则.其中所
9、有真命题的序号是_解析若，m，则m或m，是假命题；若m，m，则，是真命题；若m，mn，则n或n或n或n，相交(非垂直)，是假命题；若m，m，则或，相交，是假命题，故其中所有真命题的序号是.答案2(2014衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.给出下列结论：点H是A1BD的垂心；AH垂直于平面CB1D1；AH延长线经过点C1；直线AH和BB1所成角为45.其中错误的结论序号是_解析对于，由于AA1ABAD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是A1BD的外心，而A1BA1DBD，故点H是A1BD的垂心，命题是真命题；对于
10、，由于B1D1BD，CD1A1B，故平面A1BD平面CB1D1，而AH平面A1BD，从而AH平面CB1D1，命题是真命题；对于，由于AH平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题是真命题；对于，由知直线AH即是直线AC1，又直线AA1BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即A1AC1，而tanA1AC1，因此命题是假命题答案3(2014苏、锡、常、镇模拟)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)解析由P
11、A平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确答案4. (2015南京模拟)如图，在四棱锥PABCD中，DCAB，DADC2AB，O为AC与BD的交点，AB平面PAD，PAD是正三角形(1)若点E为棱PA上一点，且OE平面PBC，求的值；(2)求证：平面PBC平面PDC.(1)解因为OE平面PBC，OE平面PA
12、C，平面PAC平面PBCPC，所以OEPC，所以AOOCAEEP.因为DCAB，DC2AB，所以AOOCABDC12.所以.(2)证明取PC的中点F，连接FB，FD.因为PAD是正三角形，DADC，所以DPDC.因为F为PC的中点，所以DFPC.因为AB平面PAD，所以ABPA，ABAD，ABPD.因为DCAB，所以DCDP，DCDA.设ABa，在等腰直角三角形PCD中，DFPFa.在RtPAB中，PBa.在直角梯形ABCD中，BDBCa.因为BCPBa，点F为PC的中点，所以PCFB.在RtPFB中，FBa.在FDB中，由DFa，FBa，BDa，可知DF2FB2BD2，所以FBDF.由DFPC，DFFB，PCFBF，PC，FB平面PBC，所以DF平面PBC.又DF平面PCD，所以平面PBC平面PDC.