1、73*复数的三角表示73.1复数的三角表示式73.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义新课程标准解读核心素养1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系数学抽象2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义数学运算设复数z1i在复平面内对应的点为Z.问题(1)写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；(2)记r为向量的模，是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出的任意一个值，探讨r，与z1i的实部、虚部之间的关系知识点一复数的三角形式1定义：任何一个复数zabi都可以表示成r(cos_isin_)的形式其中，r是复数z的模；
2、是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数zabi的辐角r(cosisin)叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式2辐角的主值：规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值通常记作arg z，即0arg z2.辐角和辐角主值的区别与联系区别：辐角是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在02范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个联系：2karg z，kZ. 任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？提示：辐角有无限多个值，这些值相差2的整数倍辐角的主值只有一个值，在02范围
3、内判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)复数的辐角是唯一的()(2)zcos isin 是复数的三角形式()(3)z2(cos isin )是复数的三角形式()(4)复数zcos isin 的模是1，辐角的主值是.()答案：(1)(2)(3)(4)知识点二复数三角形式乘、除运算1乘法运算法则设z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2r1r2cos(12)isin(12)即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的，积的辐角等于各复数的辐角的2除法运算法则设z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，且z1z2，则cos(1
4、2)isin(12)即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的1.()A1B1Ci Di答案：C24(cos isin )2()A1i B1iC1i D1i答案：C复数的代数形式化为三角形式例1(链接教科书第84页例1)将下列复数代数式化成三角形式：(1)i；(2)1i.解(1)r2，所以cos ，对应的点在第一象限，所以arg(i)，故i2.(2)r，所以cos ，对应的点在第四象限，所以arg(1i)，故1i.将复数的代数形式转化为三角形式的步骤(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的
5、三角形式 跟踪训练1下列复数是复数三角形式表示的是()A.BC.Dcosisin解析：选D选项A，cos与isin之间用“”连接，不是用“”连接；选项B，0不符合r0要求；选项C，是sin与icos用“”连接而不是cosisin的形式故A、B、C均不是复数的三角形式故选D.2复数zi的三角形式为()A2B2C2 D2解析：选D因为r2，所以cos ，与zi对应的点在第四象限，所以arg(i)，故zi2.复数的三角形式化为代数形式例2(链接教科书第85页例2)复数z化为代数形式为()A. i B iC i D. i解析zsinicosii.答案D将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角
6、形式zr(cos Aisin A)，代数形式为zxyi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即xrcos A，yrsin A 跟踪训练复数的代数形式为_解析：1i.答案：1i复数三角形式的乘法、除法运算例3(链接教科书第87页例3、88页例5)计算：(1)2；(2)6(cos 160isin 160)(cos 25isin 25)解(1)222i.(2)原式3cos(16025)isin(16025)3(cos 135isin 135)333i.在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示 跟踪训练1计算：
7、2i.解：2i2(cos 90isin 90)4(cos 60isin 60)22i.2已知z144i的辐角主值为1，z21i的辐角主值为2，求12的值解：z144i4，z21i，z1z2488，12.复数三角形式乘、除运算的几何意义例4(链接教科书第88页例4)在复平面内，把复数3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数解因为3i22.所以22223i，2222i.故把复数3i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3i，按顺时针旋转得到的复数为2i.两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角2(如果20，就要把绕点O按顺时
8、针方向旋转角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 跟踪训练在复平面内，把与复数i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数解：i，由题意得233i，即与所得向量对应的复数为3i.1复数z1i(i为虚数单位)的三角形式为()Az(sin 45icos 45)Bz(cos 45isin 45)Czcos(45)isin(45)Dzcos(45)isin(45)解析：选B依题意得r，复数z1i对应的点在第一象限，且cos ，因此，arg z45，结合选项知B正确故选B.2已知i为虚数单位，z1(cos 60isin 60)，z22(sin 30icos 30)，则z1z2()A4(cos 90isin 90) B4(cos 30isin 30)C4(cos 30isin 30) D4(cos 0isin 0)解析：选Dz22(sin 30icos 30)2(cos 300isin 300)，z1z2(cos 60isin 60)2(cos 300isin 300)4(cos 360isin 360)故选D.3计算的值解：21i.