1、优培4 恒成立问题1、利用最值分析例1：设函数，（1）解方程；（2）若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据题意，原方程可转化为，即，解得，经验证，是原方程的解（2）因为是上的奇函数，所以，故，则，且在上单调递增由，得，又是上的奇函数，所以，又在上单调递增，所以，故对任意的都成立，即对任意的都成立，因为（当且仅当时取等号），所以，故实数的取值范围是2、分离参数求解例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】【解析】，即只需要即可，设，令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析），在单调递增，在单调递增，当时，实
2、数的取值范围是3、数形结合例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，则的图象应在的上方，应为单增的对数函数，即，另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，只需保证在时，即可，代入可得，综上可得：一、选择题1已知不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】令，则，令，则在上，当时，单调递增；当时，单调递减，又，所以当时，取得最大值，即，所以，即整数的最小值是，故选A2已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】作出的图象可知为减函数，等价于在恒成立，即，解得3若不等式对任
3、意恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】恒成立不等式变形为，即的图象在图象的上方，先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关通过观察图象，可得只需，解得4已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意知，关于的不等式在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，等价于令，故实数的取值范围是5设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，可得，可得在单调递增，在单调递减，故，若原不等式恒成立，只需，再进行一次参变分离，则只需，解得二、填空题6若不等式对
4、任意的，恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】设，则，则原不等式可化为，则由上式对任意的恒成立，得对任意的恒成立若，不等式显然成立；若，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，即，综上所述，的取值范围是7已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为 【答案】【解析】，即，作出函数和的图象，可知，即的最大整数值为8已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 【答案】【解析】令，可得，由可得，当时，即，在上单调递增，即，解得，结合，可得三、解答题9设，当时，恒成立，求的取值范围【答案】【解析】恒成立不等式为，只需，令，则对称轴为当时，在单调递增，即；当时，在单调递减，在单调递增，即，综上，10
5、已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）当时，易得当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）恒成立，只需，由，得，令，解得，在单调递减，在单调递增，都有恒成立，即只需，当时，令，则，与矛盾，当时，解得，在单调递增，在单调递减，解得，综上所述：11已知函数，其中（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，可得恒成立，在单调递增；当时，令，可解得或，在，单调递增；在，单调递减（2）若在上恒成立，则只需，由（1）可知在的边界处取得最大值，即对任意的恒成立，可得，综上，的取值范围为12设，其中，函数在点处的切线方程为其中（1）求证：函数有且仅有一个零点；（2）当时，恒成立，求最小的整数的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），所以，当时，即，解得，函数在上单调减，由于，则函数有且仅有一个零点（2）一方面，当时，由此；当时，下证：，在时恒成立，记函数，在上单调递增，在上单调递减，；记函数，在上单调递减，在上单调递增，即，成立，又因为和不能同时在同一处取到最大值，所以当时，恒成立，所以最小整数