1、选修45不等式选讲A级基础过关|固根基|1.(2020届陕西摸底)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a4时，求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)|x3|的解集包含0，1，求实数a的取值范围解：(1)当a4时，f(x)6，即|x4|x2|6，即或或解得x0或x6，所以原不等式的解集为(，06，)(2)f(x)|x3|的解集包含0，1等价于f(x)|x3|在0，1上恒成立，即|xa|2x3x在0，1上恒成立，即1xa1x在0，1上恒成立，所以1a0，即实数a的取值范围为1，02(2020届大同调研)设a，b，c均为正数，abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明：(1)由a2b
2、22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcac.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2ac2bc1，3(abbcac)1，即abbcac.(2)b2a，c2b，a2c，(abc)2(abc)，即abc，即1.3(2019届郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)|3x2a|2x2|(aR)(1)当a时，解不等式f(x)6；(2)若对任意xR，不等式f(x)3x4|2x2|都成立，求a的取值范围解：(1)当a时，不等式f(x)6可化为|3x1|2x2|6，当x6，x6，无解；当x1时，不等式化简为3x12x26，x.综上所述，不等式的解集为.(2)不等式f(x)3x4|
3、2x2|可化为|3x2a|3x4，令g(x)|3x2a|3x函数g(x)的最小值为2a.根据题意可得，2a4，即a2，a的取值范围为(2，)4(2019届河南许昌、新乡、平顶山三市联考)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)当x时，不等式f(x)2可化为xx1，1x；当x时，不等式f(x)2可化为xx1时，不等式f(x)2可化为xx2，解得x1，x1.综上可得Mx|1x0，即a2b21a2b2，即a2b212aba2b22ab，即(ab1)2(ab)2，即|ab|1ab|.B级素养提升|练能力|5.(2019年全国卷)设x
4、，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得，(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)
5、2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.6(2019届广东中山二模)已知函数f(x)x1|3x|，x1.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2naba2b，求证：2ab.解：(1)根据题意，若f(x)6，则有或解得1x4，故原不等式的解集为x|1x4(2)证明：函数f(x)x1|3x|分析可得f(x)的最小值为4，即n4，则正数a，b满足8aba2b，即8，2ab(2ab)，当且仅当ab时，取等号，即2ab.7(2019届江西萍乡二模)已知函数f(x)|x1|1x|，g(x)|xa2|xb2
6、|，其中a，b均为正实数，且ab2.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)当xR时，求证f(x)g(x)解：(1)f(x)|x1|1x|当x1时，f(x)21，不等式f(x)1无解；当1x1时，f(x)2x1，解得x1；当x1时，f(x)21恒成立综上所述，不等式f(x)1的解集为.(2)证明：当xR时，f(x)|x1|1x|x11x|2，g(x)|xa2|xb2|xa2(xb2)|a2b2|a2b2.而a2b2(ab)22ab(ab)222，当且仅当ab时，等号成立，即a2b22，因此f(x)2a2b2g(x)，即f(x)g(x)8(2020届惠州调研)已知f(x)|x1|axa1|.(1)
7、当a1时，求不等式f(x)3的解集；(2)若x1时，不等式f(x)x2恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，不等式f(x)3，即|x1|x|3.当x1时，x1x3，解得x2，所以x2；当1x0时，x1x3，无解；当x0时，x1x3，解得x1，所以x1.综上，不等式f(x)3的解集为(，21，)(2)解法一：当x1时，不等式f(x)x2，即|axa1|1.令g(x)a(x1)1，则g(x)的图象为一条过定点(1，1)且斜率为a的直线，数形结合可知，当a0时，|axa1|1在1，)上恒成立所以，所求a的取值范围为0，)解法二：当x1时，不等式f(x)x2，即|axa1|1.所以axa11或axa11，即a(x1)2或a(x1)0.当x1时，aR，不等式a(x1)2不恒成立；当x1时，为使不等式a(x1)0恒成立，则a0.所以，所求a的取值范围为0，)