1、优培19 圆锥曲线综合1、圆锥曲线的定点定值问题例1：已知椭圆的离心率为，点，分别为椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，且（1）求椭圆的方程；（2），是椭圆上的两个动点，若直线与直线的斜率之和为，证明，直线恒过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，又，且，由可得，椭圆的方程为（2）设，若，则直线与直线的斜率之和等于，与题意不符，可设直线方程为，由，消去可得，化简得，由韦达定理可得，由题意可得，即，即，化简可得，或当时，直线的方程为，恒过定点，经检验，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，恒过定点综上直线恒过定点2、圆锥曲线的最值和范围问题例2：已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双
2、曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的纵坐标的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，四边形为平行四边形，且不妨设双曲线的渐近线为：，：，设点，则直线方程为，且点到直线的距离由，解得，设四边形的面积为，则，又，双曲线的标准方程为，又，解得，故选D一、简答题1已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，若，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由【答案】（1）；（2）为
3、定值，理由见解析【解析】（1）因为抛物线的焦点为，则，所以因为直线与圆相切，则，即，解得，所以椭圆的方程是（2）设直线的方程为，点，将直线的方程代入椭圆方程，得，即，则，由已知，即，即，所以，即因为，则，即，从而，所以为定值2已知双曲线的渐近线方程为，且过点，椭圆以双曲线的虚轴为长轴，且椭圆的离心率为（1）求双曲线和椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意设双曲线的方程为双曲线过点，双曲线的标准方程为；设椭圆的方程为，且，又，椭圆的标准方程为（2）由，得设，点到直线的直线，当且仅当，即时，取等号，的最大值为3已知椭圆的离心率为，左
4、、右焦点分别是、，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，交点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点，直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析【解析】（1）由题意知，则又，可得，椭圆的方程为（2）以线段为直径的圆过轴上的定点由，得，设，则有，又点是椭圆的右顶点，点由题意可知直线的方程为，故点直线的方程为，故点若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立又，恒成立，又，解得，故以线段为直径的圆过轴上的定点4已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左
5、焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，设切线的斜率都存在求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）；（2）直线恒过定点，理由见解析【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，因为，不妨设点，代入椭圆方程得，又因为，所以，所以，所以的方程为（2）依题设，得直线的方程为，即，设，由切线的斜率存在，设其方程为，联立，得，由相切得，化简得，即，因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，又，所以直线的方程可化为，即，令，得，所以直线恒过定点5如图，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，双曲线的左，右焦点分别为，离心率为，已知，（1）求，的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦，为弦的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值【答案】（1），；（2）【解析】（1），即，的方程为，的方程为（2）依题意，直线的方程可设为，设，由，消去可得，中点坐标为，直线的方程为，由，消去可得，且，设到直线的距离为，则到直线的距离也为，又，四边形的面积，当时，取得最小值，且，即四边形面积的最小值为