1、优培15 平行垂直关系的证明1、构造三角形中位线证线面平行例1：在三棱柱中，平面，分别为，的中点证明：平面【答案】证明见解析【解析】如图，连接交于点O，连接，因为，分别为，的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面外，在平面内，所以平面2、构造平行四边形证线面平行例2：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，若，分别为，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】设为的中点，连接，（如图），则为的中位线，所以且，四边形是正方形，为的中点，且，故且，四边形为平行四边形，则，又因平面，平面，所以，平面3、利用面面平行证线面平行例3：如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点，分
2、别为，的中点（1）求证：；（2）求证：平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接，为正方形，则，因为平面，平面，所以，所以平面，平面，所以，因为点，分别为，的中点，所以，所以（2）取中点，连接，因为点，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面4、利用线面垂直证异面直线垂直例4：如图，在直三棱柱中，点，分别是边，中点，且求证：（1）平面；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）在直三棱柱中，点，分别是边，中点，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）直三棱柱中，平面，点，分别是边，中点，且
3、，平面，平面，一、解答题1如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且求证：（1）；（2）平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连接，因为四边形为正方形，所以，又因为平面，所以，而，故平面，而平面，所以（2）根据正方体的结构特征可知，平面平面，而，所以平面，故平面2已知四棱锥，平面，底面为等腰梯形，是中点（1）求证：平面；（2）求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明：取的中点，连接，在中，是中点且，又等腰梯形中，且，四边形是平行四边形，平面，平面，平面（2）证明：连接与的中点，根据题意，等腰梯形中，四边形是平行四边形，设，则，平面，平面，平面，
4、平面，平面，平面，3如图，在直三棱柱中，点，分别为和的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）连结，在三棱柱中，所以四边形为平行四边形，因为为的中点，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为，点为的中点，所以，在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，因为，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为，所以平面平面4如图，三角形所在的平面与等腰梯形所在的平面垂直，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）如图，取的中点，连
5、，为的中点，为的中点，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，四边形为平行四边形又，四边形为菱形，同理，四边形为菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面5如图，在三棱锥中，点、分别是棱、的中点（1）求证：平面；（2）求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为点、分别是棱、的中点，所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，平面（2）由（1）得，又因为，所以，因为，点是棱的中点，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以6如图，在三棱柱中，点，分别是，的中点，平面平面（1）求证：；（2）求证：平面【答案】（1）证明见解析；（
6、2）证明见解析【解析】（1）因为，平面平面，平面平面，平面，则平面又因为平面，所以（2）取的中点，连接，在中，因为，分别是，的中点，所以，且在平行四边形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，在平行四边形是平行四边形，所以又因为平面，平面，所以平面7在三棱锥中，平面，为的中点，为的中点（1）求证：；（2）若为的中点，请问线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请说明点的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点是线段上靠近点的四等份点，详见解析【解析】（1）证明：，又平面，平面，平面，平面，平面，平面又平面，（2）假设线段上存在一点，使得平面，如图，取的中点，
7、连、，又平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面，又平面，平面，平面平面，平面，平面PAC，又，为线段的中点，故假设成立，线段上存在一点，使得平面，此时点是线段上靠近点的四等份点8如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点（1）求证：；（2）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，证明见解析，【解析】（1）菱形，则是等边三角形，又是线段的中点，又平面平面，平面平面，所以平面又平面，故（2）取的中点，连接交于点，点即为所求的点证明：连接，所以与相交于点，是的中点，是的中点，又平面，平面，直线平
8、面又，9如图，在四棱锥中，平面，（1）求证：；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，是的中点【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以因为，所以平面因为平面，所以（2）因为平面ABCD，平面，所以在直角梯形中，由题意可得，所以，所以因为，所以平面（3）解：在棱上存在点，使平面，且是的中点证明：取的中点，连接，因为是的中点，所以因为，所以，所以是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面10已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且，为的中点，点在上，且（1）证明：；（2）在上是否存在一点F，使平面，若存在，试确定点的位置【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的三等分点(靠近点)【解析】（1）连接，如图，在四棱锥中，为的中点，又平面平面，平面，在矩形中，由勾股定理知，解得，又，平面，又平面，（2）存在，为的三等分点(靠近点)证明：取的三等分点(靠近点)，连接，如图，易知，四边形是平行四边形，取中点，连接，为中点，为的三等分点(靠近点)，连接，又，平面平面，又平面，平面