1、优培13 三视图与体积、表面积1、与三视图有关的几个方面的应用例1：我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在同一等高处的截面积都相等，则两几何体题意相等已知某不规则与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示：则该组合体的体积为，所以对应不规则几何体的体积为，故选B例2：九章算术中，将底面是直角三角形的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑
2、堵”的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为，底面周长为，故棱柱的表面积，故选B一、选择题1已知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为的正方形，则该几何体外接球的体积是（ ）ABCD【答案】D【解析】由几何体正视图、侧视图均是边长为的正方形，结合俯视图可得此几何体是棱长为的正方体的一部分，如图，四棱锥，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径等于正方体的体对角线长，即，所以外接球的半径，此几何体的外接球的体积2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视
3、图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图），三棱柱的底面是边长为的等边三角形，高为，三棱锥的底面为，可求出等腰三角形的面积为，该几何体的表面积为3已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：为的中点，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，底面，几何体的外接球的球心为是的外心，半径为，该几何体的外接球体积为，外接球的体积，4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】该几何体的直观图如图所示易知，所以，所以该几何体的表面积5“斗拱”是中国古代
4、建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体，在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗，如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体下半部分是一个下底面边长为上底面边长为的正方形、高为的棱台，上半部分为一个棱柱，截去中间一个小棱柱，所得的组合体，如图，棱台的体积为，上半部分的体积为，6已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，
5、故所求表面积二、填空题7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱，圆柱的底面半径，圆柱的高，所以圆柱的表面积为8如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_【答案】【解析】根据几何体的三视图找到对应的几何体原图是如图所示的三棱锥，其中，的面积为，所以三棱锥的体积为三、解答题9已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同（1）求此几何体的体积；（2）求几何体的表面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体正四棱柱的底面对角线为，所以底面边长为，高为，半球的半径为所以（2）10已知一个几何体的三视图如图所示（1）求此几何体的表面积；（2）如果点，在正视图中所示位置，为所在线段中点，为顶点，求在几何体侧面的表面上，从点到点的最短路径的长【答案】（1）；（2）【解析】（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，所以（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，如图则，所以从点到点在侧面上的最短路径的长为