1、四川省眉山市东坡区永寿高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）1. （ ）A. 5B. C. 6D. 【答案】A【解析】【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可【详解】由题故选A【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. “至少有1个白球”和“都是红球”B. “至少有2个白球”和“至多有1个红球”C. “恰有1个白球” 和“恰有2个白球”D. “至多有1个白球”和“都是红球”【答案】C【解析】【分析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项
2、A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.3. 某市电视台为调查节目收视率，想从全
3、市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知3个县人口数之比为，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（ ）A. 96B. 120C. 180D. 240【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的性质,直接列式求解即可.【详解】因为3个县人口数之比为,而人口最多的一个县抽出60人,则根据分层抽样的性质,有,故选:B.【点睛】本题考查分层抽样,解题关键是明确分层抽样是按比例进行抽样.4. 已知、都是实数，那么“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别判定“”与“”的充要条件,再分析
4、即可.【详解】当时有,当时有.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题.5. 在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由直线与圆相交可得圆心到直线的距离，即或，也即，故所求概率，应选答案C点睛：本题将几何概型的计算公式与直线与圆的位置关系有机地整合在一起旨在考查运算求解能力、分析问题和解决问题 的能力综合分析问题解决问题的能力求解时，先依据题设建立不等式求出或，再借助几何概型的计算公式求出概率使得问题获解6. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的
5、面积为 （ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 若a0，b0，且函数f（x）=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b
6、满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：f（x）=12x22ax2b又因为在x=1处有极值a+b=6a0，b0当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等8. 若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是A. 平均数为20，方差为8B. 平均数为20，方差为10C. 平均数为21，方差为8D. 平均数为21，方差为10【答案】A【解析】【分析】利用和差积的平均数和方差公式解答.【详解】由题得样本的平均数为，方差为.故选A
7、【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围【详解】由题得，原命题的否命题是“，使”，即，解得选B.【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题10. 在平面区域内随机取一点，则点在圆内部的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：画出不等式组对应的平面区域，其与圆面的公共部分的面积为个圆面，故其面积与平面区域的面积之比为所求概率详解：不等式对应的平面区域如图所示：其中满足的点为
8、阴影部分对应的点，其面积为，不等组对应的平面区域的面积为，故所求概率为，故选B点睛：几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等11. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式（为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 所以 ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等12. 已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取
9、值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用导数等式结合条件求出函数的解析式，由，得，转化为函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围.【详解】由等式，可得，即，即（为常数），则，因此，令，得或，列表如下：极小值极大值函数的极小值为，极大值为，且，作出图象如下图所示，由图象可知，当时，.另一方面，则，由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，则有，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查函数的单调性、函数不等式的整
10、数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题13. 某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则_.【答案】5【解析】【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x81，得x1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+803+903+（0+2+y+1+3+6）598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为867602，所以y4，x+y
11、=5故答案为5【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题14. 命题A：|x1|3，命题B：(x2)(xa)0；若A是B的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 .【答案】(,4)【解析】【详解】对于命题A：|x1|3，-2x4,要使A是B的充分而不必要条件,则a4,即实数a的取值范围是(,4)15. 执行如图所示的程序框图，则输出结果_.【答案】1010【解析】【分析】弄清程序框图的算法功能是解题关键由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法并项求和，即可求出【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，输出的为1010【点睛】本题主要考
12、查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法并项求和法的应用正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键16. 已知函数f（x）2x，g（x）x2ax（其中aR）.对于不相等的实数x1，x2，设m，n，现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中真命题有_（写出所有真命题的序号）.【答案】【解析】对于，因为f （x）2xln20恒成立，故正确对于，取a8，即g（x）2x8，当x1，x24时n
13、0，错误对于，令f （x）g（x），即2xln22xa记h（x）2xln22x，则h（x）2x（ln2）22存在x0（0，1），使得h（x0）0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，mn不一定成立.错误对于，由f （x）g（x），即2xln22xa令h（x）2xln22x，则h（x）2x（ln2）220恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x时，h（x）当x时，h（x）因此对任意的a，存在ya与函数h（x）有交点.正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.17. 某研究机构对高三学生
14、的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：6810122356（1）请在图中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力相关公式：，.【答案】（1）=0.7x-2.3；（2）4【解析】试题分析：把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来即可得到散点图由题意求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出的值，即可得到回归方程，注意运算不要出错由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4试题解析：把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如图所示：（2）由题意
15、得，,线性回归方程为 由回归直线方程知，当时，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为418. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，乙协会编号为，丙协会编号分别为，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.【答案】（1）15种；（2）；（3）【解析】【分析】（1）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，利用列举法即可得到所有可能的结果.（2利用列举法得到“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”的基本事件
16、的个数，利用古典概型，即可求解；（3）由两名运动员来自同一协会有，共4种，利用古典概型，即可求解【详解】（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为，共15种.（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为，的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件，共9种，所以丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率.（3）两名运动员来自同一协会有，共4种，参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中准确利用列举法的基本事件的总数，找出所求事件所包含的基本事件的个数
17、，利用古典概型及其概率的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题19. 设，命题p：，满足，命题q：x，.（1）若命题是真命题，求a的范围；（2）为假，为真，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由命题是真命题，则需命题p为真命题且q为真命题，建立关于a不等式组，可得答案；（2）由为假，为真、q同时为假或同时为真，分p假q假和p真q真，建立关于a的不等式组，可得a的取值范围；详解】（1）命题p真时，则或， 得；q真，则，得，所以真，；（2）由为假，为真、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，得，若p真q真，则，所以，综上或.故a的取值范围是.
18、【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题.20. 近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中（I）求的值；（）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；（）若按照分层抽样从,中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率【答案】() () 平均数74.9,众数75.14,中位数75；() 【解析】【
19、分析】（I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.（III）先计算出从,中分别抽取人和人，再利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】解：(I)依题意得,所以,又,所以 ()平均数为中位数为众数为 ()依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：,共28种,其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则【点睛】本小题主要考查求解频率分布
20、直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考查利用古典概型求概率.属于中档题.21. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数取值范围.【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.【解析】【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.【详解】（1）因为
21、函数，所以，.又因为，则切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数定义域为，由（1）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：0极小值所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是.（3）当时，“”等价于“”.令，.令解得，当时，所以在区间单调递减.当时，所以在区间单调递增.而，.所以在区间上的最大值为.所以当时，对于任意，都有.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.22. 已知函数.求函数的单调区间；如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【详解】试题分析：求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值.试题解析：(1) 由于，所以.当，即时，；当，即时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.(2) 令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()所以在上为增函数，所以.对分类讨论： 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立； 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，所以，不符合题意； 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.综合可得，所求的实数的取值范围是.考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.