1、第一部分高考层级专题突破层级三2个压轴大题巧取高分专题一圆锥曲线中的综合问题第一讲圆锥曲线中的定点、定值问题课时跟踪检测(二十)圆锥曲线中的定点、定值问题A卷1(2019广东佛山普通高中月考)已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点与抛物线C2：y22px(p0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)过点A(2,0)的直线l与C2交于M，N不同的两点，若点M关于x轴的对称点为M，证明：直线MN恒过一定点解：(1)依题意，可得a，则C2：y24ax，令xc得y24ac，即y2，所以44，所以ac2.则解得
2、a2，b，所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y28x.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在且不为0，可设l：xmy2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M(x1，y1)，联立消去x，得y28my160，由0，得m1.因为y1y28m，y1y216，所以m，所以直线MN的斜率kMN，可得直线MN的方程为yy2(xx2)，即yxy2xx(x2)，所以当m1时，直线MN恒过定点(2,0)2(2019江西模拟)在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E
3、交于不同的A，B两点，交直线yx于点N，若m，n，求证：mn为定值，并求出此定值解：(1)由已知得，2a8，a2c，则a4，c2，又b2a2c2，b212，椭圆的标准方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N，由m，得m(1x1,3y1)，x1，y1，A，点A在椭圆1上，1，得到9m296m48x0；同理，由n，可得9n296n48x0.m，n可看作是关于x的方程9x296x48x0的两个根，则mn为定值B卷1(2019河南模拟)已知曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，且曲线C2的离心率为.(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B
4、分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k14k20时，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解：(1)曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，r2，b2，曲线C1的方程为x2y24.曲线C2的离心率为，e21，a4，曲线C2的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为yk1x2，代入到x2y24，消去y，可得(1k)x24k1x0，解得x0或x1，y1，直线PB的方程为yk2x2，代入方程1，消去y，可得(14k)x216k2x0，解得x0或x2，y2.k14k2，直线AB的斜率k，故
5、直线AB的方程为y，即yx2，直线AB恒过定点(0,2)2(2019顺义区模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，长轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且(，R)，其中O为原点，求证：221.解：(1)设椭圆的焦距为2c，故a23b2.a，b1，椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(，R)，(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又点M在椭圆C上，(x1x2)23(y1y2)23.整理可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3.又焦点F的坐标为(，0)，AB所在的直线方程为yx，代入方程y21，得4x26x30.x1x2，x1x2，x1x23y1y24x1x23(x1x2)63960；又点A，B在椭圆C上，故有x3yx3y3.将代入可得221.