1、第二课时双曲线的方程及性质的应用(习题课)直线与双曲线位置关系的判断及求参例1(1)过点P(，5)且与双曲线1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程；(2)已知双曲线x21上存在关于直线l：ykx4对称的两点A，B，求实数k的取值范围解(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x，此时仅有一个交点(，0)，满足条件若直线的斜率存在，设直线的方程为y5k(x)，则ykx5k，代入到双曲线方程，得1，所以25x27(kx5k)2725，(257k2)x272kx(5k)7(5k)27250.当k时，方程无解，不满足条件当k时，方程25x10875有一解，满足条件当k时，令14k(5k)24
2、(257k2)7(5k)21750，化简后知方程无解，所以不满足条件所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x和yx10.(2)当k0时，显然不成立当k0时，由lAB，可设直线AB的方程为yxb，代入3x2y23中，得(3k21)x22kbx(b23)k20.3k210，(2kb)24(3k21)(b23)k20，即k2b23k210，设AB的中点M(x0，y0)，由根与系数的关系，得点M(x0，y0)在直线l上，4，即k2b3k21.把代入得k2b2k2b0，解得b0或b0或或|k|0，b0)与直线y2x无交点，则离心率e的取值范围是()A(1，2)B(1，2C(1，) D(1，解析：选D由
3、题意可得，2，所以e.又e1，所以离心率e的取值范围是(1，.交点及弦长问题例2直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点(1)求线段AB的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？解由得(3a2)x22ax20.由题意可得3a20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(1)|AB|.(2)记坐标原点为O，由题意知，OAOB，则0，即x1x2y1y20，x1x2(ax11)(ax21)0.即(1a2)x1x2a(x1x2)10，(1a2)a10，解得a1.经检验，a1时，以AB为直径的圆经过坐标原点处理直线与双曲线交点及弦长的有关问题时，常用到根与系数
4、的关系直线l：ykxm(k0)与双曲线1(a0，b0)相交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长为|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.另外需注意，当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解 跟踪训练斜率为2的直线l与双曲线1相交于A，B两点，且|AB|4，则直线l的方程为_解析：设直线l的方程为y2xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)把y2xm代入双曲线的方程2x23y260，得10x212mx3m260.故x1x2m，x1x2.由已知，得|AB|2(14)(x1x2)24x1x216.把代入，解
5、得m.直线l的方程为y2x.答案：y2x直线与双曲线及其他知识的综合问题例3设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值解(1)将yx1代入双曲线方程y21中得(1a2)x22a2x2a20，解得0a且e.即e的取值范围为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0，1)，(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2，由于x1，x2都是方程的根，且1a20，x2，x.消去x2，得，由a0得a.双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上设而
6、不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度 跟踪训练已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知，得a，c2.由a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)由得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)则x1x2
7、，x0，y0kx0m.由题意，知ABMN，kAB(k0，m0)，整理得3k24m1.将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，m，m的取值范围是(4，)1已知双曲线方程为x21，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有()A4条 B3条C2条 D1条解析：选B因为双曲线方程为x21，则P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条2若直线ykx与双曲线4x2y216相交，则实数k的取值范围为()A(2，2) B2，2)C(2，2 D2，2解析：选A易知k2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由0可得2k0)，与yx联立，得x2a2，|AB|a2，a3，故选B.4已知直线l：xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2y25上，则实数m的值是_解析：由消去y得x22mxm220.则4m24m288m280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)又点(m，2m)在x2y25上，所以m2(2m)25，得m1.答案：1