1、32双曲线32.1双曲线及其标准方程新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程数学抽象、直观想象如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支问题类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两
2、焦点间的距离叫做双曲线的焦距对双曲线定义中限制条件的理解(1)当|MF1|MF2|2a|F1F2|时，M的轨迹不存在；(2)当|MF1|MF2|2a|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；(3)当|MF1|MF2|0，即|MF1|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支 1已知双曲线的焦点为F1(4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程是_解析：由题知c4，a1，故b215，所以双曲线的标准方程为x21.答案：x212设点P是双曲线1上任意一点，F1，F
3、2分别是左、右焦点，若|PF1|10，则|PF2|_解析：由双曲线方程，得a3，b4，c5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|PF1|6，所以|PF2|PF1|610616；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|PF2|6，所以|PF2|PF1|61064.故|PF2|4或|PF2|16.答案：4或16知识点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2巧记双曲线焦点位置与方程的关系焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在
4、x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)方程1表示双曲线()(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距()(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为1，则a2b2.()(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值()答案：(1)(2)(3)(4)2已知双曲线1，则双曲线的焦点坐标为()A(，0)，(，0)B(5，0)，(5，0)C(0，5)，(0，5)D(0，)，(0，)答案：B3双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，3)，b2，则双曲线的标准方程是_答案：1双曲线标准方程的认识例1(链接教科书第121页练习3题)已知方程1对应的图形是双曲线，
5、那么k的取值范围是()Ak5Bk5或2k2或k2 D2k0.即 或解得k5或2k2.答案B双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn0时，方程表示双曲线若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线 跟踪训练1已知双曲线1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A.B5C7 D.解析：选D根据题意可知，双曲线的标准方程为1.由其焦距为4，得c2，则有c22a3a4，解得a.2在方程mx2my2n中，若mn0，则方程所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的双曲线 D焦点在y轴上的椭圆解析：选C方程
6、mx2my2n可化为1.由mn0知0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.求双曲线的标准方程例2(链接教科书第121页练习1题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4；(2)焦点为(0，6)，(0，6)，经过点A(5，6)解(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2，得b2c2a242327.故双曲线的标准方程为1或1.(2)由已知得c6，且焦点在y轴上因为点A(5，6)在双曲线上，所以2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.所以所求双曲线的标准方程是1.1求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，
7、以确定方程的形式；(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可注意若焦点的位置不明确，应分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，注意标明条件mn0. 跟踪训练根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)；(2)双曲线过两点P，Q.解：(1)设双曲线的标准方程为1(4k16)将点(3，2)代入，解得k4或k14(舍去)，双曲线的标准方
8、程为1.(2)设所求双曲线方程为Ax2By21(AB0)点，在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.双曲线定义的应用例3(链接教科书第121页练习4题)如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得2a6，又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，假设点P到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点P到另一个焦点的距离为10或22.(2)将2a6，两边平方得|P
9、F1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cos F1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.母题探究1(变条件)若本例条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其他条件不变，求F1PF2的面积解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2448.2(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解：由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|
10、PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，则SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用 跟踪训练已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|_(O为坐标原点)解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2(图略)易得ON是PF
11、1F2的中位线，所以|ON|PF2|.因为|PF1|PF2|2a8，|PF1|10，所以|PF2|2或|PF2|18，故|ON|1或|ON|9.答案：1或9双曲线在生活中的应用例4(链接教科书第120页例2)由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？解设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船
12、如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0)，C(5，2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上，又易知kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)，又|PB|PA|46|AB|，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a2，c3，双曲线方程为1(x2)，联立，得P点坐标为(8，5)，kPA，因此甲舰行进的方向角为北偏东30.双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题 跟踪训练某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿
13、道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|100 m，|BP|150 m，APB60，试说明怎样运土才能最省工解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|AP|MB|BP|，即|MA|MB|BP|AP|15010050(m)，在APB中，|AB|2|AP|2|BP|22|AP|BP|cos 6017 500，故|MA|MB|AB|.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a25.而c24 375，b23 750，故所求分界线的方程为1(x25)即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工椭圆
14、、双曲线特性归纳及应用(链接教科书第108页例3)如图，设A，B两点的坐标分别为(5，0)，(5，0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程(链接教科书第121页探究)如图，点A，B的坐标分别是(5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程 问题探究由上述两道教科书典型问题可知，设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，当k1k2时，动点M的轨迹是椭圆：1(x5)；当k1k2时，动点M的轨迹是双曲线：1(x5)结论：已知点A(a，0)，B(a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的
15、斜率为k2.(1)当k1k2时，点M的轨迹方程为椭圆1(xa，ab0)；(2)当k1k2时，点M的轨迹方程为双曲线1(xa，a0，b0)迁移应用1(2019全国卷节选)已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线解：由上述探究的结论可知k1k2.又a24，b22，所以C的方程为1(x2)即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆2.如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(1)，双曲线1的顶点是该椭圆的焦点，且a1b1，设P为该双曲线上异于顶
16、点的任一点，设直线PF1和PF2的斜率分别为k1，k2.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)证明k1k21.解：(1)由题意知，椭圆的离心率为e，则ac，又2a2c4(1)，解得a2，c2.b2a2c24，椭圆的标准方程为1，椭圆的焦点坐标为(2，0)双曲线1中a1b1，且顶点是该椭圆的焦点，该双曲线的标准方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1，k2.k1k2，又点P(x0，y0)在双曲线上，1，即yx4，k1k21.1已知M(2，0)，N(2，0)，|PM|PN|4，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支解析：选C因为|PM|PN|4|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线故选C.2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：选D依题意知解得a1.3求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，3)，F2(0，3)，A(4，5)在双曲线上，2a|AF1|AF2|2，a，b2c2a2954.故双曲线的标准方程为1.