1、第八章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第二课时定点、定值、探究性问题课时规范练1已知抛物线C：x22py(p0)，圆O：x2y21.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值解析：(1)由题意得F(0，1)，从而抛物线C：x24y.解方程组得y2.不妨设yA2，|AF|1.(2)设M(x0，y0)(y00)，则切线l：y(xx0)y0，结合x2py0，整理得x0xpypy00.由ONl且|ON|1得1，即|py0|，p且y10.|MN|2|OM|21xy12py0y1y
2、14(y1)8，当且仅当y0时等号成立|MN|的最小值为2，此时p.2.已知椭圆C的方程为1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D.(1)证明：直线BD的斜率为定值；(2)求ABD面积的最大值解析：(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，直线BD的斜率k，由两式相减得，kAB1，k，故直线BD的斜率为定值.(2)连接OB(图略)，A，D关于原点对称，SABD2SOBD，由(1)可知BD的斜率k，设BD的方程为yxt，D在第三象限，t1且t0，O到BD的距离d，由，整理得3x24tx4t280，x1
3、x2，x1x2，SABD2SOBD2|BD|d|t|t|2.当且仅当t时，SABD取得最大值2.3. (2020承德模拟)如图所示，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0，1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x
4、24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.当1时，213.故存在常数1，使得为定值3.4已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3，且ADF为以F为顶点的等腰三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且A
5、PBP，求证：点P的坐标为(x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围解析：(1)由题知F，|FA|3，则D(3p，0)，FD的中点坐标为，则3，解得p2，故C的方程为y24x.(2)证明：依题可设直线AB的方程为xmyx0(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，y2)，由消去x，得y24my4x00，因为x0.所以16m216x00，y1y24m，y1y24x0，设P的坐标为(xP，0)，则(x2xp，y2)，(x1xP，y1)，由题知，所以(x2xP)y1y2(x1xP)0，即x2y1y2x1(y1y2)xP，显然y1y24m0，所以xpx0，即证P(x0，0)，由
6、题知EPB为等腰直角三角形，所以kAP1，即1，也即1，所以y1y24，所以(y1y2)24y1y216.即16m216x016，m21x0，x01，又因为x0，所以x01，d，令t，x02t2，d2t，易知f(t)2t在上是减函数，所以d.5.如图所示，已知F(，0)为椭圆C：1(ab0)的右焦点，B1，B2，A为椭圆的下、上、右三个顶点，B2OF与B2OA的面积之比为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试探究在椭圆C上是否存在不同于点B1，B2的一点P满足下列条件：点P在y轴上的投影为Q，PQ的中点为M，直线B2M交直线yb0于点N，B1N的中点为R，且MOR的面积为.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标解析：(1)由已知得.又c，所以a2，所以b2a2c21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)假设存在满足条件的点P，设其坐标为P(x0，y0)(x00)，则Q(0，y0)，且M.又B2(0，1)，所以直线B2M的方程为yx1.因为x00，所以y01，令y1，得N.又B1(0，1)，则R，所以|MR| .直线MR的方程为yy0，即2yy0x0x20，所以点O到直线MR的距离为d1，所以SMOR|MR|d 1，解得y0，又y1，所以x0，所以存在满足条件的点P，其坐标为.