1、第3讲三角函数的图象与性质 考纲解读1.熟练掌握正弦、余弦及正切函数的图象，并能根据图象得出三角函数的性质(重点)2掌握正弦、余弦函数在0,2上的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)，并理解正切函数在上的单调性(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测2021年会与三角恒等变换结合考查三角函数的图象与性质，尤其是周期性、单调性及最值问题，同时也要注意对称轴及对称中心的应用题型常以客观题的形式呈现，有时也会出现于解答题中，难度属中、低档题型.对应学生用书P0661.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysinx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，
2、(，0)，(2，0)余弦函数ycosx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRxR，且xk，kZ值域 1,1 1,1R最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1x，kZ，无最大值，也无最小值周期2k，kZ2k，kZk，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在 2k，2k(kZ)上递增；在 2k，2k(kZ)上递减在(kZ)上递增对称性对称中心 (k，0)，kZ，k
3、Z，kZ对称轴直线xk，kZ直线xk，kZ无对称轴1概念辨析(1)ytanx在整个定义域上是增函数()(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期()(3)函数f(x)sin的最小正周期为2.()(4)sin20sin70sin120.()(5)三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式，偶函数一般可化为yAcosxb的形式()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)函数ytan2x的定义域是()Ax BxCx Dx答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan2x的定义域是x.(2)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos
4、BysinCytan2x Dysin答案A解析对于A，ycossin2x，最小正周期为且图象关于原点对称；对于B，ysincos2x的图象不关于原点对称；对于C，ytan2x的周期是；对于D，ysin的图象不关于原点对称(3)函数y12cosx的单调递减区间是_答案2k，2k(kZ)解析y12cosx的单调递减区间就是ycosx的单调递增区间，即2k，2k(kZ)(4)函数y32sin的最大值为_，此时x_.答案52k(kZ)解析函数y32sin的最大值为325，此时x2k(kZ)，即x2k(kZ)对应学生用书P067题型 一三角函数的定义域和值域1函数ylg (sin2x)的定义域为_答案解
5、析由解得所以3x或0x.所以函数的定义域为.2(2019吉安模拟)函数f(x)sin3x3cos2x的值域为_答案解析由题意得f(x)sin3x3cos2xsin3x3(1sin2x)sin3x3sin2x3，x，令tsinx，则t，所以g(t)t33t23，t，则g(t)3t26t3t(t2)，当t0，当0t1时，g(t)0.所以yg(t)在上单调递增，在0,1上单调递减又g，g(0)3，g(1)1.所以函数f(x)的值域为.3(2019长沙质检)函数ysinxcosxsinxcosx的值域为_答案解析令tsinxcosx，则tsin，由(sinxcosx)212sinxcosx得sinxc
6、osx(1t2)，所以yt(1t2)，t，的值域即为所求因为yt(1t2)(t1)21，当t时，ymin，当t1时，ymax1，所以原函数的值域为.1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解如举例说明1.2三角函数最值或值域的三种求法直接法直接利用sinx和cosx的值域求解化一法把所给三角函数化为yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，由正弦(或余弦)函数的单调性写出函数的值域换元法把sinx，cosx，sinxcosx或sinxcosx换成t，转化为二次函数的值域问题求解如举例说明2,3 1函数y的定义域为_答
7、案x解析由得所以2kx0)在0，内的值域为，则的取值范围是_答案解析当x0，时，x，又因为函数f(x)的值域为，所以可得，解得.题型 二三角函数的单调性1(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是()Af(x)|cos2x| Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|答案A解析作出函数f(x)|cos2x|的图象，如图由图象可知f(x)|cos2x|的周期为，在区间上单调递增同理可得f(x)|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)cos|x|的周期为2.f(x)sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.2已知为函数f(x)sin(
8、2x)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由于为函数f(x)sin(2x)的零点，则f0，所以sin0，解得，故f(x)sin，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)条件探究将本例中的函数的定义域改为0，则其单调递增区间为_答案和解析记Ax，B0，观察数轴可知AB，所以函数yf(x)，x0，的单调递增区间为和.3若已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是_答案解析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ.则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ，且4k0，kZ，得
9、k1，所以.求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间如举例说明1.1(2019中山模拟)函数f(x)tan的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案B解析由kk，kZ，得2kx2k，kZ.所以函数f(x)tan的单调递增区间为，kZ.2已知函数f(x)x2cosx，则f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小关系是()Af(0)f(0.6)f(0.5)Bf(0)f(0.5)f(0.6)Cf(0.6)f(0.5)f(0)Df(0.5)f(0)f(0.6)答案B解析因为函数f(x)x2cosx是偶函数，且在(0
10、，)上是增函数，所以f(0)f(0.5)f(0.5)f(0.6)，故选B.3(2019天津市红桥区模拟)若f(x)cosxsinx在a，a上是减函数，则a的最大值是_答案解析f(x)cosxsinx(sinxcosx)sin.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，取k0，得f(x)的一个减区间为.由f(x)在a，a上是减函数，得a，故a的最大值为.题型 三三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1三角函数的周期性1(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B. C D2答案C解析由已知得f(x)sinxcosxsin2x，所以f(x)的最小正周期T.故选C.角度2三角函数的奇偶性2
11、若函数f(x)cos(0)是奇函数，则_.答案解析因为f(x)为奇函数，所以k(kZ)，k，kZ.又因为00)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解如举例说明1.2函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)(xR)是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是奇函数k(kZ)如举例说明2；函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)3与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数yAsin(x)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时
12、，可通过检验f(x0)的值进行判断如举例说明3. 1(2019北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的xR，同时满足条件f(x)f(x)和f(x)f(x)的函数是()Af(x)sinx Bf(x)sinxcosxCf(x)cosx Df(x)cos2xsin2x答案D解析由f(x)f(x)可知函数是偶函数，且f(x)f(x)，则函数的周期为.A项中的函数是奇函数，故错误；B项中f(x)sinxcosxsin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2，故错误；D项中f(x)cos2xsin2xcos2x，该函数是周期为的偶函数，故选D.2关于函数ytan，下列说法正确的是
13、()A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为答案C解析ytan是非奇非偶函数，A错误；ytan在区间上单调递增，B错误；由2x得x(kZ)，得函数ytan的对称中心为，kZ，故C正确；函数ytan的最小正周期为，D错误3(2019辽宁辽阳一模)已知偶函数f(x)2sin的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则f()A. B C D.答案B解析因为f(x)是偶函数，所以k(kZ)，即k(kZ)又由题知cb BcbaCcab Dbca答案A解析sinsinsinsincos，coscoscoscos，因为ycosx在上是减函数，所以coscoscos，即acb.3函数yta
14、nxsinx|tanxsinx|在区间内的图象是()答案D解析ytanxsinx|tanxsinx|结合选项图形知，D正确4已知函数f(x)tan2x，则下列说法不正确的是()Ayf(x)的最小正周期是Byf(x)在上单调递增Cyf(x)是奇函数Dyf(x)的对称中心是(kZ)答案A解析函数yf(x)的最小正周期是，故A错误当x时，2x，此时函数f(x)tan2x为增函数，故B正确因为f(x)tan2(x)tan2xf(x)，所以f(x)tan2x是奇函数，故C正确由2x，kZ，得x，kZ，所以f(x)tan2x的对称中心是，kZ，故D正确5(2019福建六校联考)若函数f(x)2sin(x)
15、对任意x都有ff(x)，则f()A2或0 B0C2或0 D2或2答案D解析因为ff(x)对任意xR都成立，所以函数f(x)的图象的一个对称轴是直线x，所以f2.6已知函数f(x)cos(x)，f是奇函数，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递增答案B解析因为f(x)cos(x)，所以fcos，又因为f是奇函数，所以k，kZ，所以k，kZ，又0|，所以，f(x)cos，当x时，x，f(x)单调递减，当x时，x，f(x)先减后增，故选B.7(2019衡水联考)函数f(x)sin在区间(0，)内的所有零点之和为()A. B. C. D.答案C解析
16、设t2x，则由x(0，)，得t.由f(x)0得sint，结合函数ysint的图象可知此方程有两个实根t1和t2，且t1t23，所以函数f(x)在(0，)内有两个零点x1和x2，且2x12x23，所以x1x2.8函数f(x)tan的定义域是_答案x解析由得所以00)的最小正周期为，则f_.答案解析由题设及周期公式得T，所以1，即f(x)，所以f.10函数f(x)2020sin(0x2)的值域是_答案1010,2020解析因为0x2，所以x.所以sin1，所以函数f(x)2020sin的值域为1010,2020组能力关1(2020湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b例如1()A. B1,1C. D.
17、答案D解析画出函数f(x)的图象(如图中实线所示)根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2)的情况即可观察图象可知函数f(x)的值域为.2(2019辽宁省实验中学模拟)已知函数f(x)cos2xsinx，那么下列命题中的假命题是()Af(x)既不是奇函数也不是偶函数Bf(x)在，0上恰有一个零点Cf(x)是周期函数Df(x)在上是增函数答案B解析因为f(x)cos2xsinx，所以f(x)cos2xsinx.故f(x)既不是奇函数也不是偶函数所以A是真命题；令f(x)cos2xsinx0，得1sin2xsinx0，解得sinx.此时x有两个值所以f(x)在，0内恰有两个零点所以B是假命题
18、；因为f(x)cos2xsinx1sin2xsinx2.显然f(x)是周期函数，所以C是真命题；对于f(x)2，令usinx在上单调递减，则y2在上单调递减，所以D是真命题3(2020赣州摸底)已知函数f(x)sin，0，xR，且f()，f().若|的最小值为，则f_，函数f(x)的单调递增区间为_答案，kZ解析函数f(x)sin，0，xR，由f()，f()，且|的最小值为，得，即T3，所以.所以f(x)sin.则fsin.由2kx2k，kZ，得3kx3k，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为，kZ.4已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).解(1)
19、f(x)的最小正周期T.(2)证明：因为x，所以2x，所以sinsin，所以当x时，f(x).组素养关1已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解(1)f(x)sin的最小正周期为，2，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，令k0，得f(x)在上的单调递减区间为.2已知函数f(x)2sin2cos2x1，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)f(xt)的图象关于点对称，且t(0，)，求t的值；(3)当x时，不等式|f(x)m|3恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)coscos2xsin2xcos2x22sin，故f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知h(x)2sin.令22tk(kZ)，得t(kZ)，又t(0，)，故t或.(3)当x时，2x，所以f(x)1,2又|f(x)m|3，即f(x)3mf(x)3，所以23m13，即1m4.故实数m的取值范围是(1,4)
