1、24.2圆的一般方程新课程标准解读核心素养1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程逻辑推理2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程数学运算在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.问题如果把圆的标准方程(xa)2(yb)2r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？知识点圆的一般方程1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为_圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方
2、程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2y2DxEyF0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2E24F0. 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)方程x2y2x10表示圆()(2)方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆()答案：(1)(2)2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3)B(2，3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆x2y24x6y0的圆心坐标为，即(2，3)3过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为_解析：该圆的圆心为，半径为，故其标准
3、方程为(y2)2.化成一般方程为x2y23x4y0.答案：x2y23x4y0圆的一般方程的辨析例1(链接教科书第88页练习2题)若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m，1)，半径r.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆此时有两种途径：一是看D2E24
4、F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数 跟踪训练1已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5.答案：(2，4)52已知曲线C：x2y24mx2my20m200.求证：当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上证明：D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8
5、020(m2)2.又m2，(m2)20，D2E24F0，即曲线C是一个圆设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x2y0，即圆心在直线x2y0上.求圆的一般方程例2(链接教科书第86页例4)已知一圆过P(4，2)，Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程解法一(待定系数法)：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得，或故所求方程为x2y22x120或x2y210x8y40.法二(几何法)：由题意得线段PQ的中
6、垂线方程为xy10.所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径长r|CP|.由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.r2a2，代入并将两端平方得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故所求圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练1过点M(1，1)，且圆心与已
7、知圆C：x2y24x6y30相同的圆的方程为_解析：将已知圆的方程化为标准方程(x2)2(y3)216，圆心C的坐标为(2，3)，半径为4，故所求圆的半径为r|CM|5.所求圆的方程为(x2)2(y3)225.答案：(x2)2(y3)2252过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的一般方程为_解析：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组解方程组得D8，E6，F0，于是得到所求圆的一般方程为x2y28x6y0.答案：x2y28x6y0求动点的轨迹方程角
8、度一直接法求动点的轨迹方程例3求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程解设点M的坐标是(x，y)，则.化简，得x2y22x30，即所求轨迹方程为(x1)2y24.角度二代入法求动点的轨迹方程例4已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程解设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则点P(x0，y0)在圆C：x2y28x6y210上，xy8x06y0210.(2x)2(2y)282x62y210，即点M的轨迹方程为x2y24x3y0.角度三定义法求动点的轨迹方程例5已知直角ABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方
9、程解法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3，且x1.又因为kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简，得x2y22x30.所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法二：同法一，得x3，且x1.由勾股定理，得|AC|2|BC|2|AB|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1)法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)由直角三角形的性质，知|CD|AB|2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，
10、所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且x1)求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程注意在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点 跟踪训练已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解
11、：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12，0)和(0，0)两点其轨迹方程为(x6)2y236(y0)1圆x2y24x6y30的标准方程为()A(x2)2(y3)216B(x2)2(y3)216C(x2)2(y3)216 D(x2)2(y3)216解析：选C将x2y24x6y30配方，易得(x2)2(y3)216.2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D.解析：选A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k0)，则圆心为.圆心在直线2xy30上，230.又点(5，2)和(3，2)在圆上，52225D2EF0.32(2)23D2EF0.解组成的方程组，得D4，E2，F5.所求圆的一般方程为x2y24x2y50.
