1、专题七选修系列(4)第一讲极坐标与参数方程1(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解：(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(1x1)，l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)，可设C的参数方程为(为参数，0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点
2、B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos sin2sin22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2. 明 考 情 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题考点一曲线的极坐标方程|析典例|【例】(2019贵州贵阳适应性考试)过极点O作圆C：8cos 的弦ON.(1)求弦ON的中点M的轨迹E的极坐标方程；(2)若P，Q分别是曲线C和E上两点，且OPOQ，证明：是定值
3、解(1)设M(，)，N(1，)，则12.因为N(1，)在圆8cos 上，所以18cos ，即28cos .故弦ON的中点M的轨迹E的极坐标方程是4cos .(2)证明：设点Q的极坐标是(2，)，则点P的极坐标是.因为38cos8sin ，24cos ，所以sin2cos21，即是定值.| 规 律 方 法 |求解与极坐标有关的应用问题的基本方法(1)直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用(2)间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标|练题点|(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l
4、过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解：(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P2，在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(， )，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，考点二参数方程|析典例|【例】(2019广东广州花都区二模)已知
5、直线l：(t为参数)，曲线C1：(为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值解(1)根据题意得直线l的普通方程为y(x1)，曲线C1的普通方程为x2y21，由解得l与C1的交点坐标分别为(1,0)，故|AB|1.(2)由题意得，曲线C2的参数方程为(为参数)，则点P的坐标是，所以点P到直线l的距离d，故当sin1时，d取得最小值，最小值为.| 规 律 方 法 |参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数
6、的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解|练题点|(2019豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l：(t为参数)与曲线C：(为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若，求线段AB的中点M的坐标；(2)若|PA|PB|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是y21.当时，设点M对应的参数为t0，直线l的方程为(t
7、为参数)，代入曲线C的普通方程y21，得13t256t480，设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.则t0，所以点M的坐标为.(2)将代入曲线C的普通方程y21，得(cos24sin2)t2(8sin 4cos )t120，因为|PA|PB|t1t2|，|OP|27，所以7，得tan2.由于32cos (2sin cos )0，故tan .所以直线l的斜率为.考点三参数方程、极坐标的综合应用|析典例|【例】(2019河北六校联考)在直角坐标系xOy中，点P(0，1)，曲线C1：(t为参数)，其中00得，sin .设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，由|PM|，得20sin2
8、9sin 200，解得sin .| 规 律 方 法 |转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用在对坐标系与参数方程的考查中，灵活地利用转化与化归思想可以使问题得到简捷的解答例如，将题设条件中涉及的极坐标方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解，充分体现了转化与化归的数学思想|练题点|(2019唐山模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解：(1)由2sin ，得22sin .所以x2y22y，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得225，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，在圆C外故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.