1、23直线的交点坐标与距离公式23.1两条直线的交点坐标23.2两点间的距离公式新课程标准解读核心素养1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标数学抽象、数学运算2.探索并掌握两点间的距离公式数学抽象、数学运算从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线l1与l2：如果它们没有公共点，那么l1与l2平行；否则，l1与l2相交，而且有唯一的交点问题(1)在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢？(2)如果两条直线相交，如何求出它们的交点坐标？知识点一两条直线的交点坐标直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20的位置关系如
2、表所示：方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行1仅用直线的斜率能判断两直线的位置关系吗？提示：不能2两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解是这两条直线的交点坐标吗？提示：是1直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是()A(4，1)B(1，4)C. D.解析：选C由方程组得即直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是.2直线l1：xy20与直线l2：2x2y30位置关系是_答案：平行知识点二两点间的距离公式1公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| 2文字叙述：平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差
3、与纵坐标之差的平方和的算术平方根1两点间的距离公式与两点的先后顺序无关2当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|；当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|y2y1|；当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|. 1已知点A(2，1)，B(a，3)，且|AB|5，则a的值为()A1B5C1或5D1或5解析：选C|AB|5，a5或a1.2已知A(2，3)，B(2，3)，则|AB|_答案：6两条直线的交点问题例1(链接教科书第70页例1)(1)三条直线ax2y70，4xy14和2x3y14相交于一点，求a的值；(2)求过直线2xy20和xy10的交点，且斜率为3的直线方程解(1)解方程组
4、得所以两条直线的交点坐标为(4，2)由题意知点(4，2)在直线ax2y70上，将(4，2)代入，得a42(2)70，解得a.(2)法一(方程组法)：解方程组得所以两直线的交点坐标为(1，0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y03x(1)，即3xy30.法二(直线系法)：设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2xy2(xy1)0(其中为常数)，即(2)x(1)y20，又直线l的斜率为3，所以3，解得，将代入，整理得3xy30.1两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；方法二：两直线斜率都存在且斜率不等2过两条直线交点的直线方程的
5、求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程 跟踪训练1求过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程解：设过两直线交点的直线系方程为x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为x3y4(2xy5)0，即3x19y0.2求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解：法一：由方程组得即P(0，2)ll3，l3的斜率为，kl，直线l的方程为y2x，即4x3
6、y60.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420，l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.直线恒过定点问题例2求证：不论为何实数，直线(2)x(1)y63都恒过一定点证明法一(特殊值法)：取0，得到直线l1：2xy30，取1，得到直线l2：x3，故l1与l2的交点为P(3，3)将点P(3，3)代入方程左边，得(2)(3)(1)363，点(3，3)在直线(2)x(1)y63上直线(2)x(1)y63恒过定点(3，3)法二(分离参数法)：由(2)x(1)y63，整理，得(2xy3)(xy
7、6)0.则直线(2)x(1)y63通过直线2xy30与xy60的交点由方程组得直线(2)x(1)y63恒过定点(3，3)解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点，而此交点就是定点比较这三种方法可知，特殊值法计算较烦琐，点斜式法变形较
8、困难，分离参数法最简便因而也最常用 跟踪训练 已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围解：(1)证明：直线l的方程可化为ya，所以不论a取何值，直线l恒过定点A，又点A在第一象限，所以不论a为何值，直线l总经过第一象限(2)令x0，y，由题意，0，解得a3.所以a的取值范围为3，).两点间的距离公式角度一两点间距离的计算例3(链接教科书第73页例3，例4)已知ABC三顶点坐标A(3，1)，B(3，3)，C(1，7)，试判断ABC的形状解法一：|AB|2，|AC| 2，|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，
9、且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二：kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC| 2，|AB| 2，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2| ；(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解 角度二距离公式在几何证明中的应用例4在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(a，0)，因为|AB|2(ab)2c2，|AC
10、|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，所以|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2b2c2a2，所以|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数计算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理注意建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算 跟踪训练1 .已知点A(3，4)，B(2，)，在x轴上找
11、一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解：设点P的坐标为(x，0)，则有|PA| ，|PB| .由|PA|PB|，得x26x25x24x7，解得x.故所求点P的坐标为.|PA| .2已知在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)，所以|AC| ，|BD| .故|AC|BD|.对称问题1对称问题的主要类型及解法(1)点关于点对称：点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M(2x0a，2y0b)；(
12、2)直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程；(3)点关于直线对称：点(x1，y1)关于直线l：AxByC0对称的对称点(x2，y2)可由得出；(4)直线关于直线对称：直线l1：A1xB1yC10关于直线l：AxByC0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程2利用对称性求距离的最值由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决
13、在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A，得直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解迁移应用1已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点坐标；(2)直线yx2关于直线l对称的直线的方程；(3)直线l关于点A(3，2)对称的直线的方程解：(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的
14、中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l，即解得点P的坐标为(2，7)(2)解方程组得则点在所求直线上在直线yx2上取一点M(2，0)，设点M关于直线l的对称点为M(x0，y0)，则解得点M也在所求直线上由两点式得直线方程为，化简得直线方程为7xy220.(3)在直线l上取两点E(0，3)，F(1，0)，则E，F关于点A(3，2)的对称点为E(6，1)，F(7，4)点E，F在所求直线上，由两点式得直线方程为，即3xy170.2在直线l：3xy10上求一点P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小解：(1)如图，设点B关于l的
15、对称点B的坐标为(a，b)，kBBkl1，即31，a3b120.又BB的中点坐标为，且在直线l上，310，即3ab60.由得a3，b3，B(3，3)于是直线AB的方程为，即2xy90.解由l的直线方程与AB的直线方程组成的方程组得即l与AB的交点坐标为(2，5)，P(2，5)(2)如图，设C关于l的对称点为C，可求出C的坐标为.AC所在直线的方程为19x17y930.AC和l交点坐标为P.故P点坐标为.1已知点M(x，4)与点N(2，3)间的距离为7，则x_解析：由|MN|7，得|MN| 7，即x24x450，解得x9或x5.故所求x的值为9或5.答案：9或52两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值为_解析：在2x3yk0中，令x0得y，将代入xky120，解得k6.答案：63已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|5，求直线l2的方程解：点B在直线l1上，设B(x0，62x0)|AB|5， 5，整理，得x6x050，解得x01或5.点B的坐标为(1，4)或(5，4)直线l2的方程为x1或3x4y10.