1、第三节函数的奇偶性及周期性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称f(x)f(x)y 轴奇偶性定义图象特点奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称f(x)f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小的正数最小正数
2、1(2015北京高考)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x|Dy2x答案：B2若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(8)f(14)_.答案：13(教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 x0 时，f(x)_.答案：x(1x)1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有f(x)f(x)或 f(x)f(x)，而不能说存在 x0 使 f(x
3、0)f(x0)或 f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性1已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是()A13B.13C.12D12解析：f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a13.又 f(x)f(x)，b0，ab13答案：B2设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x0，x2x，x0.解析(2)图象法：(3)性质法：设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇
4、奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性如“题组练透”第(5)题 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x)当 x0,2时，f(x)2xx2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 015)解(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)的最小正周期为 4.(2)f(0)0，f(1)1，f(2
5、)0，f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是周期为 4 的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0，f(0)f(1)f(2)f(2 015)0.越变越明变式 1 若母题中条件变为“f(x2)1fx”，求函数f(x)的最小正周期解析变式 2 若母题条件改为：定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.求 f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值解析解：f(x6)f(x)，T6.当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时
6、，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)12 0106335.而 f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.变式 3 在母题条件下，求 f(x)(x2,4)的解析式解析破译玄机利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转
7、化为已知区间上的相应问题，即把区间2,4转化为2,0上函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主多以选择题、填空题形式出现常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合解析2设函数 f(x)x1xax为奇函数，则 a_.解析解析4(2015刑台摸底考试)已知定义在(1,1)上的奇函数 f(x)，其导函数为 f(x)1cos x，如果 f(1a)f(1a2)0，则实数 a的取值范围为()A(0,1)B(1，2)C(2，2)D(1，2)(2，1)解析解析解析结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)