1、第三课时空间中直线、平面的垂直新课程标准解读核心素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系数学抽象、直观想象2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系逻辑推理、直观想象观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直问题如何证明旗杆与地面垂直？知识点空间中直线、平面垂直的向量表示1线线垂直的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1l2u1u2u1u202线面垂直的向量表示设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则lunR，使得un3面面垂直的向量表示设平面，的法向量分别为n1，n2，则n1n2n1n20若直线l的方向向量与平面内两条相交直线的方向向
2、量都垂直，那么l与垂直吗？提示：垂直1(多选)下列命题中，正确的命题为()A若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2B若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20C若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面垂直，则naD若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直解析：选BCDA中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知B、C、D正确2若直线l的方向向量a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交解析：选Bn2a，an，即l.3已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a(31，0，2)，b(1，1，)，若l1l2，则的值为_解
3、析：由题意知，ab，31220，1或.答案：1或4平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为u(1，0，5)，v(t，5，1)，则t的值为_解析：平面与平面垂直，平面的法向量u与平面的法向量v垂直，uv0，即1t05510，解得t5.答案：5直线和直线垂直例1如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点求证：EFBC.证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，1，)，D(，1，0)
4、，C(0，2，0)，因而E，F，所以，(0，2，0)，因此0.从而，所以EFBC.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；把两直线的方向向量用基底表示；利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直；(2)坐标法：根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；计算两直线方向向量的数量积为0；由方向向量垂直得到两直线垂直 跟踪训练如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点求证：(1
5、)BD1AC；(2)BD1EB1.证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1)(1)(1，1，1)，(1，1，0)，(1)(1)(1)1100，BD1AC.(2) (1，1，1)，(1)(1)110，BD1EB1.直线和平面垂直例2(链接教科书第32页例4)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点求证：EF平面B1AC.证明设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系则A(
6、2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)(a，a，2a)(2a，2a，a)(a，a，a)，(2a，2a，2a)(2a，0，0)(0，2a，2a)，(0，2a，0)(2a，0，0)(2a，2a，0)(a，a，a)(0，2a，2a)(a)0(a)2aa2a0，(a，a，a)(2a，2a，0)2a22a200，EFAB1，EFAC.又AB1ACA，EF平面B1AC.用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直：将直线的方向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量
7、垂直；(2)利用平面的法向量：将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行 跟踪训练如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：PB平面EFD.证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.所以(1，1，1)，.法一：因为(1，1，1)00，所以，所以PBDE，因为PBEF，又EFDEE，EF，D
8、E平面EFD.所以PB平面EFD.法二：设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.因为，所以x0，即xyz0.又因为，可设(01)，所以x，y，z1.由可知，x，y，z，所以.设n(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量，则有即所以取z11，则n(1，1，1)所以n，所以PB平面EFD.平面和平面垂直例3在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，AS底面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.证明设ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，E.法一：连接AC，交BD于点O，连
9、接OE，则点O的坐标为.易知(0，0，1)，OEAS.又AS底面ABCD，OE平面ABCD.又OE平面BDE，平面BDE平面ABCD.法二：设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)易知(1，1，0)，即取x1，可得平面BDE的一个法向量为n1(1，1，0)AS平面ABCD，平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)n1n20，平面BDE平面ABCD.证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.证明
10、：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则(1，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，0，0，即PQDQ，PQDC，又DQDCD，DQ，DC平面DCQ，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.垂直关系中的探索性问题例4如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.(1)求证：ACBF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明
11、理由解(1)证明：平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF，AF平面ABCD.AC平面ABCD，AFAC.过A作AHBC于H(图略)，则BH1，AH，CH3，AC2，AB2AC2BC2，ACAB.ABAFA，AB，AF平面FAB，AC平面FAB.BF平面FAB，ACBF.(2)存在理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，2)假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设，则01，
12、P.设平面PAC的法向量为m(x，y，z)由，(0，2，0)，得即取x1，则z，所以m为平面PAC的一个法向量同理，可求得n为平面BCEF的一个法向量当mn0，即时，平面PAC平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时.解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；(2)探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；直线(线段)AB上的点P，可设为，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算 跟踪训练如图，
13、在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD.(2)已知点G在平面PAD内，且GF平面PCB，试确定点G的位置解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，设ADa，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，(0，a，0)，(0，a，0)0，EFCD.(2)G平面PAD，设G(x，0，z)，.由(1)，知(a，0，0)，(0，a，a)GF平面PCB，(a，0，0)a0，(0，a，a)a0，x，z0.点G的坐标为，即点G
14、为AD的中点1若平面，的法向量分别为a(2，1，0)，b(1，2，0)，则与的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直 D无法确定解析：选Bab2200，ab，.2.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CFB1E，则点F(0，y，z)满足方程()Ayz0B2yz10C2yz20Dz10解析：选DE(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，所以(1，0，2)，(2，y2，z)，因为CFB1E，所以0，即22z0，即z1.3已知平面的法向量为a(1，2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k_解析：，
15、ab，ab282k0.k5.答案：54.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是_解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)，所以(，2，0)(0，1，)(，1，)，(，2，0)(2，0，0)(，2，0)，所以(，1，)(，2，0)0，所以PMAM.答案：PMAM5已知a(0，1，1)，b(1，1，0)，c(1，0，1)分别是平面，的一个法向量，则，三个平面中两两垂直的有_对解析：ab(0，1，1)(1，1，0)10，ac(0，1，1)(1，0，1)10，bc(1，1，0)(1，0，1)10，a，b，c中任意两个都不垂直，三个平面中任意两个都不垂直答案：0