1、第4讲直接证明与间接证明考纲解读1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法(重点)2能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：反设；归谬；结论(难点)3综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等. 1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把
2、要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立1概念辨析(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻
3、找使结论成立的充要条件()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A综合法 B.分析法 C类比法 D.反证法答案B解析用分析法证明如下：要证明2，需证()2(2)2，即证10220，即证5，即证2125，显然成立，故原结论成立用综合法证明：因为()2(2)2102202(5)0，故bc，且abc0，求证： 0 B.ac0C(ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0答案C解析要证a，只需证b2ac3a2，即证
4、(ac)2ac0，即证(2ac)(ac)0，即证2a(ab)(ac)0，即证(ab)(ac)0，故索的因应是(ab)(ac)0.2(2019天水一中模拟)(1)已知实数a，b满足|a|2，|b|2，证明：2|ab|0，证明： a2.证明(1)要证2|ab|4ab|，只需要4a28ab4b2168aba2b2，只需证4a24b20，即(4a2)(4b2)0，因为|a|2，|b|2，所以a24，b20成立所以要证明的不等式成立(2)要证 a2，只需证 2a，只需证a244a2222，即证2.只需证42，即证a22，由基本不等式知此式显然成立，所以原不等式成立1分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用
5、分析法证题的主要思想(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证2分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明过程中所需要用的知识不太明确、具体含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导见举例说明2.(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等
6、差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立题型 二综合法的应用 设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求证：为等差数列证明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3.两式相减，得(3m)an12man，m3，an是等比数列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，a11.又b1a11，qf(m)，当nN且n2时，bnf(b
7、n1)bnbn13bn3bn1.是首项为1，公差为的等差数列1利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型2综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明见举例说明.求证抛物线y22px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x相切证明如图，作AA，BB垂直于准线于点A，B，取AB的中点M，作MM垂直于准
8、线于点M.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM|AB|，由抛物线的定义得|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|，所以只需证|MM|(|AA|BB|)，由梯形的中位线定理知上式是成立的所以，以过焦点的弦为直径的圆必与x相切题型 三反证法的应用 1(2019衡水模拟)利用反证法证明：若0，则xy0，假设为()Ax，y都不为0 B.x，y不都为0Cx，y都不为0，且xy D.x，y至少有一个为0答案B解析xy0的否定为x0或y0，即x，y不都为0.2设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为
9、Sn，则当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，2a1qka1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列1反证法证明问题的三个步骤2反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命
10、题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.1已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc0，所以ex1,00，即f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数他使用的证明方法是()A综合法 B.分析法C反证法 D.以上都不是答案A解析由证明过程可知，他使用的方法是综合法3分析法又称执果索因，已知x0，用分析法证明2 B.x24 Cx20 D.x21答案C解析11x1x00.4设x0，P2x2x，Q(sinxcosx)2，
11、则()APQ B.P0，所以P2；又(sinxcosx)21sin2x，而sin2x1，所以Q2.于是PQ.故选A.5在等比数列an中，a1a2a3是数列an递增的()A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析当a1a2a3时，设公比为q，由a1a1q0，则1q1，此时，显然数列an是递增数列，若a1qq2，即0q1，此时，数列an也是递增数列，反之，当数列an是递增数列时，显然a1a2a3.故a1a20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B.恒等于零C恒为正值 D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递
12、减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)bc，则使恒成立的最大的正整数k为()A2 B.3 C4 D.5答案C解析abc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.又2224，当且仅当abbc时等号成立k，k4，故k的最大整数为4.故选C.8用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_答案x1且x1解析根据反证法的定义，应首先假设命题的结论不成立，对本题而言即x1且x1.9.2与的大小关系是_答案2解析假设2，由分析法可得，要证2，只需证2，即证132134，即2.因为4240，所以2成立10已知点An(n，
13、an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_答案cn1cn解析点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，因此an，bnn，cnn，因此数列cn为递减数列，所以cn10，y0，且yx1，则，的值满足()A.，都大于1B.，中至少有一个小于1C.，都小于1D以上说法都不正确答案B解析x0，y0，且yx1，x1，x1y，1.xy1，3x3y3，13x3y2，1，31，可小于1，可等于1，也可大于1，故，中至少有一个小于1.故选B.2(2019凉山州模拟)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整
14、数n2 时，关于x，y，z的方程xnynzn没有正整数解”经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁 怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是()A存在至少一组正整数组(x，y，z)使方程x3y3z3有解B关于x，y的方程x3y31有正有理数解C关于x，y的方程x3y31没有正有理数解D当整数n3时，关于x，y的方程xnynzn没有正实数解答案C解析由于B，C两个命题是对立的，故正确选项是这两个中的一个假设关于x，y 的方程x3y31有正有理数解，故x，y可写成整数比值的形式，不妨设x，y ，其中m，n为互质的正整数，a，b为互质的正整数代入方程得1，两边乘以a3
15、n3得(am)3(bn)3(an)3，由于am，bn，an都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于x，y的方程x3y31没有正有理数解. 3用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：_.答案a，b，c，d全是负数解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C
16、，求证：5a3b.证明(1)由已知得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为sinB0，所以sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，又b0，所以5a3b.5已知数列an各项均为正数，且不是常数列(1)若数列an是等差数列，求证：2；(2)若数列an是等比数列，求证：1an,1an1,1an2不可能成等比数列证明(1)要证2，只要证a1a324a2，因为数列an是等差数列，所以a1a32a2，只要证 a2，只要证a1a3a2，因为数列an各项均为正数，且不是常数列，所以a1a3a2成立，所以2.(2)假设1an,1an1,1an2可能成等比数列，则(1an1)2(1an)(1an2)，即12an1a1anan2(anan2)，因为数列an是等比数列，所以aanan2，所以2an1anan2，所以数列an是等差数列，所以数列an是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，所以1an,1an1,1an2不可能成等比数列