1、第8讲n次独立重复试验与二项分布考纲解读1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念(重点)2能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年将会考查：条件概率的计算；事件独立性的应用；独立重复试验与二项分布的应用题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型.1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)(n(AB)表示AB共同发生
2、的基本事件的个数)(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)
3、(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n) 1概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b(1p)()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中
4、事件A发生的次数的概率分布()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别为()A.， B.， C.， D.，答案C解析由已知，得P(A|B)，P(B|A).(2)设随机变量B，则P(3)()A. B. C. D.答案C解析因为B，所以P(3)C32.(3)一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有
5、一个公司不需要维护的概率为_答案0.88解析P10.40.30.88.(4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_答案解析所求概率PC12.题型 一条件概率 1从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B. C. D.答案B解析解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A).故选B.解法二：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|
6、A).故选B.条件探究1若将本例中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”，则P(B|A)_.答案解析P(A)，P(B).又BA，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).条件探究2将本例中的条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)_.答案解析从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法则P(A)，P(AB)，所以P(B|A).2如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，
7、用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_.答案解析由题意可得，事件A发生的概率P(A).事件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB)，故P(B|A).解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在前提下”等字眼，一般为条件概率题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率若为条件概率，则进行第二步第二步，计算概率，这里有两种思路：思路一缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)计算思路二直接
8、利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)计算提醒：要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率 1(2019汉中模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“四名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)()A. B. C. D.答案C解析由题意，得P(B)，P(AB)，所以P(A|B).2(2019武侯区校级模拟)如果an不是等差数列，但若kN*，
9、使得akak22ak1，那么称an为“局部等差”数列已知数列xn的项数为4，记事件A：集合x1，x2，x3，x41,2,3,4,5，事件B：xn为“局部等差”数列，则条件概率P(B|A)()A. B. C. D.答案C解析由已知数列xn的项数为4，记事件A：集合x1，x2，x3，x41,2,3,4,5，则事件A的基本事件共有A120个，在满足事件A的条件下，事件B：xn为“局部等差”数列，共有以下24个基本事件：其中含1,2,3的局部等差数列分别为1,2,3,5；5,1,2,3；4,1,2,3，共3个，同理含3,2,1的局部等差数列也有3个，含3,4,5和含5,4,3与上述相同，含2,3,4的
10、有5,2,3,4；2,3,4,1，共2个，同理含4,3,2的也有2个含1,3,5的有1,3,5,2；2,1,3,5；4,1,3,5；1,3,5,4，共4个，同理含5,3,1的也有4个所以P(B|A).题型 二相互独立事件的概率 1(2019咸阳二模)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为()A. B. C. D.答案B解析由题意，得他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，他们三人中至少有一人被录取的概率为P1.2(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010
11、平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解(1)X2就是某局双方1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是某局双方1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.
12、5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果此外，也可以从对立事件入手计算概率.1(2019湘潭三模)某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进2个得4分，投进1个得2分，1个未进得0分，则其中1名同学得2分的概率为()A0.5 B.0.48 C0.4 D.0.3
13、2答案B解析设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为PP(A)P(B)0.40.60.60.40.48.2某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率解(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)，且有即所以P(B)，
14、P(C).(2)有0个家庭回答正确的概率为P0P()P()P()P()，有1个家庭回答正确的概率为P1P(ABC)，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P1P0P11.题型 三独立重复试验与二项分布 1若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是()A. B. C. D.答案C解析一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为11，设X为3次试验中成功的次数，所以XB，故所求概率P(X1)1P(X0)1C03，故选C.2为了弘扬国粹，提高民族自豪感，坐落于某实验中学内的艺术馆为学员们提供书法、国画、古琴、茶艺等教学服务，其中学习书法和国画的
15、学员最多为了研究喜欢书法和喜欢国画之间的联系，随机抽取了80名学员进行问卷调查，发现喜欢国画的人的比例为70%，喜欢书法的人的比例为50%.喜欢国画不喜欢国画总计喜欢书法ab不喜欢书法c16总计(1)请求出上表中a，b，c的值；(2)有人认为喜欢书法与喜欢国画有关，你同意这种看法吗？说明理由；(3)假定学员们都按照自己的喜好进行了系统学习根据传统，国画上有题字和落款才算完整作品，那么既学书法又学国画的学员们创作的作品可以称为“书画兼优”为了配合实验中学七十年校庆，打算随机挑选5幅作品展览设其中“书画兼优”的作品数为X，求X的分布列参考公式：K2，其中nabcd.参考数据：P(K2k0)0.15
16、0.100.050.250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解(1)由题意，得c1680(150%)，c24.ac8070%，a32.ab8050%，b8.a32，b8，c24.(2)我同意这种看法理由如下：K23.81.3.812.706，有90%以上的把握认为喜欢书法与喜欢国画有关，我同意这种看法(3)由(1)知一幅作品“书画兼优”的概率为.X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.P(X0)C05，P(X1)C4，P(X2)C23，P(X3)C32，P(X4)C4，P(X5)C50.X的分布列如下X012345P1独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相
17、互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程2判断某概率模型是否服从二项分布Pn(Xk)Cpk(1p)nk的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.1春节期间，某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批的游客参加，规则是：每人花10元拿到5个圆圈，在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次，只要圆圈连续套住同一
18、只鹅颈3次，就可以获得套住的那只玩具鹅假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为，且每次掷圆圈的结果互不影响，则该游客获得一只玩具鹅的概率为()A. B. C. D.答案D解析设“第i次套住鹅颈”为事件Ai(i1,2,3,4,5)，则i表示“第i次未套住鹅颈”，依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的3种情形：A1A2A3，1A2A3A4，12A3A4A5，而P(A1A2A3)3，P(1A2A3A4)3，P(12A3A4A5)32，故该游客获得一只玩具鹅的概率为，故选D.2医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有A，B，C三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种
19、药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75，能控制V指标的概率分别为0.6,0.5,0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响(1)求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列解(1)A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为PP(A)P(B)P(C)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275.(2)A有治疗效果的概率为PA0.50.60.3，B有治疗效果的概率为PB0.60.50.3，C有治疗
20、效果的概率为PC0.750.40.3，A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成3次独立重复试验，即XB(3,0.3)X的可能取值为0,1,2,3，P(Xk)C0.3k(10.3)3k，即P(X0) C0.30(10.3)30.343，P(X1)C0.3(10.3)20.441，P(X2)C0.32(10.3)0.189，P(X3)C0.330.027.故X的分布列如下X0123P0.3430.4410.1890.027 组基础关1从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么是()A2个球不都是白球的概率B2个球都不是白球的概率C
21、2个球都是白球的概率D2个球恰好有一个球是白球的概率答案A解析2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，2个球都是白球的概率P，2个球不都是白球的概率是1.故选A.2(2019广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10202130314041505160个数1040805020若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A. B. C. D.答案D解析由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为，则所求概
22、率为C23.3位于坐标原点的一个质点M按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点M移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.5 B.C5CC3 D.CC5答案B解析如图，由题可知质点M必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率所求概率为PC23C5.故选B.4某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p等于()A. B. C. D.答案B解析由题意得，(1p)p，p.5(2019成都调研
23、)某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为()A. B. C. D.答案C解析设A表示“甲同学收到李老师所发活动通知信息”，B表示“甲同学收到张老师所发活动通知信息”，由题意P(A)，P(B)，甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为.故选C.6投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于出现3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为()A. B.C. D.答案B解析
24、投掷一枚图钉，钉尖向上的概率为p(0p1)，连续掷一枚图钉3次，出现2次钉尖向上的概率为Cp2(1p)，出现3次钉尖向上的概率为p3.出现2次钉尖向上的概率小于出现3次钉尖向上的概率，Cp2(1p)p3，即p2(34p)，p的取值范围为.7(2019重庆模拟)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()A. B. C. D.答案A解析设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B为“学生丙第一个出场，”则P(A)，P(AB)，则P(B|A).8(2019武昌区
25、模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A两次的点数均为奇数，B两次的点数之和为4，则P(B|A)_.答案解析根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，有6636种情况，记A两次的点数均为奇数，B两次的点数之和为4，事件A包含339种情况，事件AB有2种情况，则P(A)，P(AB)，则P(B|A).9某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(4)_.答案解析依题意，B，故P(4)C41.10(2019全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队
26、获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_答案0.18解析甲队以41获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输若在主场输一场，则概率为20.60.40.50.50.6；若在客场输一场，则概率为20.60.60.50.50.6.甲队以41获胜的概率P20.60.50.5(0.60.4)0.60.18.组能力关1(2019广州市高三调研)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，
27、则从乙袋中取出的球是红球的概率为()A. B. C. D.答案B解析分两类：若从甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；若从甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；所求概率P.故选B.2(2020安阳摸底)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球也投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为()A. B. C. D.答案B解析设该运动员第2球投进的概率为p2，第1球投进的概率为p1，p2p1(1p1)p1.故选
28、B.3(2019德州一模)某超市在中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10X15)_.答案解析中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10X15)C0.420.62C0.430.6.4为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均
29、车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列解(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和
30、1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A).(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为，故XB.所以P(X0)C03，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C30.所以X的分布列如下X0123P组素养关1(2019安徽六校教育研究会第二次联考)为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，统计数据如表所示，支付方式微信支付宝购物卡现金人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率(1)求三人中使用
31、微信支付的人数多于现金支付的人数的概率(2)记X为三人中使用支付宝支付的人数，求X的分布列解(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，.设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数”，则P(A)P(Y3)P(Y2)P(Y1，且Z0)3C2C2.(2)由题意可知XB，故所求分布列如下X0123P2(2019顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频
32、率分布直方图，并且前四组频数成等差数列(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？(w取整数)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列解(1)前四组频数成等差数列，所对应的也成等差数列，设a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.5(0.20.2d0.22d0.23d0.2d0.10.10.1)1，解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在22.5内的频率为0.50.50.25.居民月用水量在22.5内的频数为0.25100002500.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2的频率为(0.20.30.4)0.50.45，小于3的频率为0.45(0.50.3)0.50.85，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为3.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7，由题意，XB(3,0.7)，P(X0)C0.330.027，P(X1)C0.320.70.189，P(X2)C0.30.720.441，P(X3)C0.730.343.X的分布列如下X0123P0.0270.1890.4410.343