1、微专题85 几何概型一、基础知识：1、几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2、对于一项试验，如果符合以下原则：（1）基本事件的个数为无限多个（2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题
2、）（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量数轴，两个变量平面直角坐标系，三个变量空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题：例1：已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）A. B. C. D. 思路：先解出时的取值范围：，从而在数轴上区间长度占区间长度的比例即为事件发生的概率，所以答案：C例2：如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（ ）A. B. C. D. 思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面
3、积与长方形面积的比值长方形的面积，阴影面积，所以有，可解得，从而答案：B例3：已知正方形的边长为2，是边的中点，在正方形内部随机取一点，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 思路：可理解为以为圆心，为半径的圆的内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计算其面积为，正方形面积，所以答案：B小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从和为定点便可确定所在的圆内例4：一个多面体的直观图和三视图所示，是的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为（ ）A. B. C. D. 思路：所求概
4、率为棱锥的体积与棱柱体积的比值。由三视图可得，且两两垂直，可得，棱锥体积，而，所以。从而答案：D例5：如图，点等可能分布在菱形内，则的概率是（ ）A. B. C. D. 思路：对联想到数量积的投影定义，即乘以在上的投影，不妨将投影设为，则，即即可，由菱形性质可得，取中点，有，所以 且垂足四等分，点位置应该位于内。所以 答案：D例6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求的线段长度所占的比例为，所以概率答案：B例7：已知函数，若都是区间
5、内的数，则使成立的概率是（ ）A. B. C. D. 思路：题目中涉及两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设为“在区间内”，则要满足的条件为： ，设事件为“成立”，即，所以要满足的条件为：，作出各自可行域即可得到 答案：C例8：在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）A. B. C. D. 思路：分别在坐标系中作出“”，“”，“”的区域，并观察或计算其面积所占单位长度正方形的比例，即可得到的大小：答案：B例9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00，那么在他走之前拿
6、到邮件的概率为（ ）A. B. C. D. 思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记为，一个是小王离开家的时刻，记为，由于双变量所以考虑建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件所要满足的条件为： ，设“小王走之前拿到邮件”为事件，则要满足的条件为： ，作出和的可行域，可得答案：D例10：已知一根绳子长度为，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为_思路：随机剪成三段，如果引入3个变量，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减少变量个数，由于三段的和为，设其中两段为，则第三段为。只用两个变量，所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设为“一根绳子随机剪三段”，则要满足的条件为：，设事件为“三段围成三角形”，则任意两边之和大于第三边，所以满足的条件为，在同一坐标系作出的可行域。则 答案：