1、1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分一（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-ABCD的棱长为，那么四面体A-ABD的体积是 （ D ) （2）的 （ A ）（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又
2、是以为周期的偶函数？ （ B ）（A） （B） （C） （D） (D) O X (C) O X (A) O X (4)极坐标方程的图象是 （ C ）(B) O X（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ）（A）96个 （B）78个（C）72个 （D）64个二（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）（1）求方程解集 答：（2）设，求的值答：（3）求曲线的焦点答：（0，0）（4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2
3、+a1+a0的值答：64（或26）（5）设函数f(x)的定义域是0，1，求函数f(x2)的定义域答：-1，1三（本题满分14分）（1）解方程解：由原对数方程得解这个方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根（2）解不等式解：解得四（本题满分15分） A P B N C 450 M R Q D 如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为，CMQ=（00900)，线段PM的长为，求线段PQ的长解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R
4、，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PNBC（三垂线定理）因此PNR是所给二面角的平面角，所以PNR=450由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以PQR=在RtPNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR在RtMNR中，MR=在RtPMR中，又已知00900，所以在RtPRQ中，故线段PQ的长为五（本题满分15分） Y Z1 O - X Z2 设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值和-，（2）OZ1Z2的面积为定值S求OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值解
5、：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中由于Z是OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有于是又知OZ1Z2的面积为定值S及，所以六（本题满分15分）已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（,)和(+1,+1)，其中为参数 Y y=x Q P O X B A M 于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是1.当直线PA和QB平行，无交点2当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（
6、2）式得将上述两式代入（1）式，得当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程注：考生没指出“=0”及“=-2或=-1”时的情形不扣分七（本题满分14分）设（1）证明不等式对所有的正整数n都成立（2）设用定义证明（1）证一：用数学归纳法略证二：由不等式对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n1）求和，得到又因以及对所有的正整数n都成立（2）由（1）及bn的定义知对任意指定的正数，要使，只要使，即只要使取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足根据极限的定义，证得八（本题满分12分）设,b是两个实数，A=(x,y)|x=n,
7、y=n+b,n是整数，B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数，C=(x,y)|x2+y2144，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在和b使得（1）AB（表示空集），（2）（,b)C同时成立解：如果实数和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得(n,n+b)=(m,3m2+15),即由此得出，存在整数n使得n+b=3n2+15,或写成n+b-(3n2+15)=0这个等式表明点P（,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是当且仅当时上式中等号才成立由于n是整数，因此，所以上式中等号不可能成立即因为点P在直线L上，点P到原点的距离必满足而（2）成立
8、要求2+b2144，即由此可见使得（1）成立的和b必不能使（2）成立所以，不存在实数和b使得（1），（2）同时成立九（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值解：已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y=3x2-12x+11在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y|x=x0=3x02-12x0+11点P处切线方程是y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0设这切线与y轴的截距为r，则r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间0，2上的最小值因为r=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)当0x02时r0，因此r是增函数，故r在区间0，2的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小这个最小值是r最小值=-6
