1、85空间中的垂直关系1线线垂直如果两条直线所成的角是_(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直2直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说_，记作_直线l叫做_，平面叫做_直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的_(2)判定定理：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面用符号表示：ab，ab.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_3直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在
2、平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0的角任一直线与平面所成角的范围是_4二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的范围是_5平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一
3、个平面垂直自查自纠1直角2(1)直线l与平面互相垂直l平面的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3锐角4(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱5(1)直二面角(2)垂线(3)交线 ()若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：若lm，m平面，则l或l；若l，m平面，则lm，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件故选B. ()设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A若l，则 B若，则lmC若l，则 D若，则lm解：对于A，由两平面垂直的判定定理知，A正确
4、；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，B错误；对于C，要求内两条相交直线都平行于，才能推出，C错误；对于D，l，m平行、异面都有可能，D错误故选A. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()A3个B4个C5个D6个解：如图，过P作平面A1B1C1D1，ABCD的垂线分别交D1B1，DB于E，F点，易知P也是EF的三等分点设正方体的棱长为a，则PA1PC1a；PD1a，PBa；PB1a，PAPCa，PDa.故有4个不同的值故选B. 在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则四边形BFDE一定是
5、平行四边形；四边形BFDE有可能是正方形；四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFDE为平行四边形，正确；若四边形BFDE是正方形，则BEED，又ADEB，ADEDD，所以BE面ADDA，与已知矛盾，错；易知四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，正确；当E，F分别为棱AA，CC的中点时，EFAC，又AC平面BBD，所以EF面BBD，正确故填. ()点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1
6、P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是_(填写所有正确命题的序号)解：由题得直线BC1平行于直线AD1，且直线AD1平面AD1C，直线BC1平面AD1C，所以直线BC1平面AD1C.所以VAD1PCVPAD1C，点P到平面AD1C的距离不变，所以体积不变，故正确；连接A1B，可得平面AD1C平面A1BP，故正确；当点P运动到B点时，DBC1为等边三角形，所以DP不垂直BC1，故不正确；易知ACDB1，AD1DB1，又ACAD1A，所以DB1平面ACD1，又DB1平面PDB1，所以平面PDB1平面ACD1，故正确故填.类型一线线垂直问题如图，在四棱台ABCDA
7、1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.证明：(1)因为D1D面ABCD，且BD面ABCD，所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB2-2ADABcos603AD2，所以AD2BD2AB2.所以ADBD.又因为ADD1DD，所以BD面ADD1A1.又AA1面ADD1A1, 所以AA1BD.(2)连接AC，A1C1，设ACBDE，连接A1E.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且
8、A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形所以CC1A1E.又因为A1E面A1BD，CC1面A1BD，所以CC1面A1BD.【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A1BD中没有与CC1平行的直线，故需作辅助线()如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)由题意知E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面
9、AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1B1C.又ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.类型二线面垂直问题如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD
10、，CDA45，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：因为PA底面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，CECDsin451，DECDcos451，又因为AB1，则ABCE.又CEAB，ABAD，所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形因为AD3，所以BCAEAD-DE2，SABCD(BCAD)AB(23)1，VPABCDSABCDPA1.于是四棱锥PABCD的体积为.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明
11、；第(2)问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积()如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点证明：A1D平面A1BC.证明：设E为BC的中点，连接A1E，DE，AE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC，所以AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以四边形A1AED为平行四边形，所以A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平
12、面A1BC.类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM平面A1B1M.解：(1)因为C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M90.而A1B11，B1M，故tanMA1B1.(2)证明：由A1B1平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，得A1B1BM.由(1)知，B1M，又BM，B1B2，B1M2BM2B1B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB1，由得BM平面A1B1M.而BM平面ABM，所
13、以平面ABM平面A1B1M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一()如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1A
14、C.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1
15、F.类型四垂直综合问题()如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积解：(1)证明：由已知得，ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以OD平面A
16、BC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S68-3.所以五棱锥DABCFE的体积V2.【点拨】立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化，在本题中，原菱形ABCD的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定理的逆定理证明垂直，这就要求我们必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是解此题的关键()如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.图1图2(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面B
17、CDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在图1中，因为ABBCADa, E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在图2中，BEA1O，BEOC，所以BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由题设知平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2.故四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，又V36，故a6.1判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义；(2)如果直线ab，ac，则bc；(3)如果直
18、线a面，c，则ac；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零2证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a，b，ac，bcc；(2)ab，ab；(3)利用面面平行的性质：，aa；(4)利用面面垂直的性质：，m，a，ama；，mm.3证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a，a；(2)用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：，.4平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直
19、关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等5注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化6线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)证求(算)三步曲也可用射影法：设斜线段AB在平面内的射影为AB，AB与所成角为，则cos；设ABC在平面内的射影三角形为ABC，平面ABC与所成角为，则cos.1已知，为两个不同的平面，l为直线，若，l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直解：由面面垂直的判定
20、定理可知，垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直故选D.2()设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解：选项A，B，D中m均可能与平面平行、垂直、斜交，或m在平面内故选C.3()如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()AO是AEF的垂心 BO是AEF的内心CO是AEF的外心 DO是AEF的重心解：连接PO，AO，EO，FO，易知PA，PE，PF两两垂直，则PA平面PEF，从而P
21、AEF，因为PO平面AEF，则POEF，又PAPOP，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O为AEF的垂心故选A.4()已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于
22、同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确故选D.5()如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解：因为BC1AC，BAAC，BABC1B，所以AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上故选A.6()如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平
23、面VBC解：依题意，MNAC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到ACBC，因此MN与BC所成的角是90，B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC.又BC平面VBC，所以平面VBC平面VAC，D正确故选D.7如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解：B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要CF平面B1DF，只要CFDF即可令CFDF，A1FDACF，
24、AFCA1DF，设AFx，则A1F3a-x.由RtCAFRtFA1D，得，即，解得xa或x2a.亦可由勾股定理求得故填a或2a.8已知直线l平面，直线m平面.给出下列命题：lm；lm；lm；lm.其中正确命题的序号是_解：由面面平行的性质和线面垂直的定义知正确；l，l或l，l与m平行、相交、异面都有可能，故错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定知正确；l，lmm或m，又m，所以，可能平行或相交，故错误故填.9如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，DD1的中点设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影(1)证明：直线FG平面
25、FEE1；(2)求异面直线E1G与EA所成角的正弦值解：如图所示，连接EE1，EB.(1)证明：因为E1G2，FE1FG，易得FEFG2E1G2，所以FGFE1.又因为EE1面CC1D1D，所以EE1FG.又EE1FE1E1，所以FG平面FEE1.(2)因为E1GAB，所以EAB即为异面直线E1G与EA所成的角因为BEAB，AB2，BE，所以AE.所以sinEAB.10()如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.解：(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，
26、点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM，所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.从而PABD.连接BM，因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.11()如图，在四棱锥PABCD
27、中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由解：(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，所以DC平面PAC.(2)证明：由(1)知DC平面PAC.因为DCAB，所以AB平面PAC.又因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，EF平面CEF，所以PA平面CEF. ()如图，三棱锥PABC
28、中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值解：(1)由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)证明：在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA，交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，又MNPA，所以MNAC.又BNAC，BNMNN，BN平面MBN，MN平面MBN，所以AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCAC-AN.由MNPA，得.