1、4.7正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题(每小题7分，共42分)1(2010佛山模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为()A. m B. m C. m D. m解析作出示意图如图，由已知：在RtOAC中，OA=200，OAC=30，则OC=OAtanOAC=200tan 30=.在RtABD中，AD=，BAD=30，则BD=ADtanBAD=tan 30=，BC=CD-BD=200-=.答案A2(2010池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南
2、偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)答案C3(2009六安期末)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a23a2，ABa.答案B4
3、(2009黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时解析如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)答案A5(2009汕尾联考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20(+)海里/小时B20(-)海里/小时C20(+)海里/小时D20(-)海里/小时解析由题意知SM=20，SNM=105
4、，NMS=45，MSN=30，.MN=10(-)货轮航行的速度v20()海里/小时答案B 6(2010滁州调研)线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_ h后，两车的距离最小( )A. B1 C. D2解析如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t=1
5、2 900t2-42 000t+40 000.当t=时，DE最小答案C二、填空题(每小题6分，共18分)7(2009辽源模拟)在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tan C_.解析SABCacsin B，c4.由余弦定理：b2a2c22accos B13，cos C，sin C，tan C2.答案28(2009北京海淀区4月一模)在ABC中，AC，BC2，B60，则A_，AB_.解析由正弦定理，sin A.BC2AC，A为锐角A45.C75.AB1.答案4519.(2010舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，
6、则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=tv，B=120，由正弦定理知，sinCAB=，CAB=30，ACB=30，BC=AB=a，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120=a2+a2-2a2=3a2，AC=a.答案北偏东30a三、解答题(共40分)10(13分)(2009福州模拟)如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=，求POC面积的最大值及此时的值解CPOB，CPO=POB=60-，OCP=12
7、0.在POC中，由正弦定理得， 又，OC=sin(60-)因此POC的面积为S()= CPOCsin 120=sin sin(60-)=sin sin(60-)=sin =2sin cos -sin2=sin 2+cos 2-=sin=时，S()取得最大值为.11(13分)(2009鲁东南三地四市联合考试)在ABC中，已知cos A.(1)求sin2cos(BC)的值；(2)若ABC的面积为4，AB2，求BC的长解(1)sin2cos(BC)cos A.(2)在ABC中，cos A，sin A.由SABC4，得bcsin A4，得bc10.cAB2，b5.BC2a2b2c22bccos A52
8、2225217.BC.12(14分)(2009金华模拟)在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.在ABC中，AB=-1，AC=2，BAC=120，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(-1)2+22-2(-1)2cos 120=6，BC=，CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD=，BCD=30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船