1、数列不等式综合问题（二）【例1】设函数的图象在处的切线平行于直线。记的导函数为，数列满足：,。（1）求函数的解析式； （2）试判断数列的增减性,并给出证明；（3）当时，证明:。【例2】已知函数，数列满足，且.(1)设，证明：；(2)设(1)中的数列的前项和为，证明.【例3】已知数列、中，。 （1）证明：是等差数列并求出数列的通项公式；（2）设，证明：对任意的正整数、，均有；（3）设数列的前项和为，证明：。基础大题自测（四）1、如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，、分别是、的中点。（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。2、如图，在四棱锥中，且；平面平面，
2、；为的中点，求：（1）点到平面的距离；（2）二面角的大小 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 数列不等式综合问题（二）参考答案：【例1】解: （1）函数的导函数为，由于在处的切线平行于， 解出： 即（2）由 得, 即,故由知, 故是单调递增.(3) = 即 ,=而当时, 【例2】 (1)证明： 即. .（2） .评注：本题利用放缩法将函数、数列和不等式巧妙结合，对综合应用能力要求较高；在考查个体思维的同时，对整体理性思维的考查达到了一定的深度和广度，合理应用放缩法可以锻炼和培养学生综合应用能力和严密的逻辑思维能力.【例3】（1）(常数)而 所以是以为首项，为公差的等差数列， 即（3） 当时
3、，即，当时，即，所以又因为时，并且，所以所以对任意的正整数、，均有（2）解法一：设函数，则，故， 即所以， 即所以，所以， 即解法二：当时，显然满足题意假设当时，所以当时，所以要证 只需证明，令，由，则 知 即在上单调递减， 即 所以 ，故当时，命题成立， 综上所述，对一切，都有基础大题自测（四）参考答案1、解：（1）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形为正三角形且为的中点 平面，平面 平面，平面且平面又平面 （2）解：设，为上任意一点，连接，由（1）知平面，则为与平面所成的角在中，因此当最短时，最大，即当时，最大此时所以而，所以，所以解法一：平面，平面， 平面平面过作于，则平面，过作于，连接
4、，由三垂线定理可知为二面角的平面角，在中，又是的中点，所以在中，又，PBECDFAyzx所以在中， 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，所以，设平面的一法向量为，则由 得取，则，所以因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为2、解法一：（1）,且平面平面，从而点到平面的距离等于点到平面的距离。平面，平面,从而由，得又由且知平面从而为点到平面的距离因此在中（2）如图，过作交于点，又过点作，交于，故为二面角的平面角，记为，过点作，交于点，连结，因平面平面，易知，故.由于为边中点，故，在中，因平面，又，故由三垂线定理的逆定理得，从而又可得，因此，而在中，故在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（1）如图，以为坐标原点，射线，分别为轴，轴正向，建立空间坐标系，设，因平面平面，故平面即点在平面上，因此，又得，从而因，故平面，即与平面重合，从而点到平面的距离为.（2）易知，. 因为的中点.为直角三角形 ,知设，则，故，所以.设面的法向量为，而，由 得，令，解出，即设设面的法向量为，而 由 得，令，解出，即所以即，所以二面角的的大小为
