1、理数试题第 1 页 共 4 页理科数学试题考生注意：1.答卷前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中的姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。2.答选择题时，每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。3.答非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字迹工整，笔迹清晰。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
2、求。1.集合|2|4Axx，|39xBx，则 AB A.RB.(2,2)C.2，6)D.(2，22.已知复数 z 满足(1)|13|zii，其中 i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知 x0，y0，a(x，1)，b(1，0)，若 ab，则 a=A.1B.0C.2D.24.定义 x 表示不超过 x 的最大整数，()xxx，例如：4.94，(4.9)0.9.执行如图所示的程序框图，若输入的6.8x，则输出结果为A.4.6B.2.8C.1.4D.2.65.已知点 F 为椭圆2221(1)xyaa 的一个焦点，过点 F 作圆221xy 的
3、两条切线，若这两条切线互相垂直，则 a A.1B.2C.3D.26.已知函数2()2sin()3sin(2)163f xxx，则不是该函数的对称轴为A.6B.3C.23D.7 6安康中学2020届高三年级高考模拟训练理数试题第 2 页 共 4 页7.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 表示.早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第 7 位的人，这比欧洲早了约 1000 年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计 的值：在区间0,2 内随机取 2(N)a a个数，构成 a 个数对,(,R)
4、x yx y，设 x，y 能与 2 构成钝角三角形三边的数对,x y 有(N)b b对，则通过随机模拟的方法得到的 的近似值为A.2abaB.2abbC.22abbD.24aba8.已知20192020loga，20202019logb，202012019c，则A.cbaB.bacC.abcD.cab9.2020 年湖北抗击新冠肺炎期间，来自全国各地的 6 名护士分派到武汉 3 家不同医院，则每家医院至少分到一名护士的不同分派方法种数为A.729B.540C.420D.21610.若函数32()lnf xxxxxax有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是A.0,B.(0,1C.1,0)D.
5、,011.如图，在三棱锥BCDA中，7DACDBCAB，32BD，二面角CBDA是钝角若三棱锥BCDA的体积2V，则三棱锥BCDA的外接球的表面积是A.12B.337C.13D.45312.设三角形 ABC 的内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且 coscos45aBbAc，且53tanC则tan AB的最大值为A.23B.43C.2 33D.3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知2()2f xxxf(2)，则曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为_.14.某校准备推荐部分高三年级的优秀学生参加 2020 年强基计划，其中推荐 x 名女生
6、，y 名男生.若 x，y 满足约束条件2313245xyyxx，*,xNyN且则该校最多推荐_名学生.15.2019 年 12 月 12 日我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强下图是 2020年 1 月 26 号到 2 月 17 号全国/湖北/非湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对比图，根据图像下列判断错理数试题第 3 页 共 4 页误的是_.该时段非湖北新增感染确诊病例比湖北少全国新增感染确诊病例平均数先增后减2.12 全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的2.12 全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数16.已知直线 ya与双
7、曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线交于点 P，双曲线 C 的左、右顶点分别为1A，2A，若2125|2PAA A，则双曲线 C 的离心率为_.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（12 分）已知数列na中，11a ，点(na，*1)nanN（在直线 210 xy 上.（1）证明数列1nnaa 为等比数列，并求其公比（2）设2log(1)nnba，数列 nb的前 n 项和为nS，若(1)mmSa，求实数 的最小值18.（12 分）如图，在四棱柱1111
8、ABCDA B C D中，底面 ABCD 是等腰梯形，/ABCD，4AB，2BCCD，顶点1D 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C（1）求证：BC 平面1ACD；（2）若直线1DD 与底面 ABCD 所成的角为 4，求平面11ABC D 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值19.（12 分）已知O 为原点，抛物线C：)80(22ppyx的准线l 与 y 轴的交点为 H，P 为抛物线C上横坐标为 4 的点，已知点 P 到准线的距离为 5.（1）求C 的方程；（2）过C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于 A，B 两点，若以 AH 为直径的圆过 B,求|BFAF 的值.理数试题第 4 页 共
9、 4 页20.（12 分）已知函数()e3cosxf xx（1）判断()f x 在0，)上的单调性；（2）当(0,)2x时，不等式()e3xf xmnx恒成立，求实数 m 的最大值和 n 的最小值21.（12 分）某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去 50周的资料显示，该基地周光照量 X(小时)都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时的有10 周.根据统计，该基地的西红柿增加量 y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合 y 与 x
10、 的关系？请计算相关系数 r 并加以说明(精确到 0.01)；(若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量 X 限制，并有如下关系：周光照量 X(单位：小时)30X70光照控制仪运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1000 元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的期望达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(.参考数
11、据：11260.65，25260.98.22.（10 分）选修 44：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是2cos4sin0，直线 1l和直线 2l 的极坐标方程分别是()R 和(R)2，其中()kkz（1）写出曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 1l 和直线 2l 分别与曲线 C 交于除极点 O 的另外点 A，B，求 OAB的面积最小值23.（10 分）选修 45：不等式选讲已知函数()2|1|f xxmxmR（）（1）当3m 时，求不等式()40f x 的解集；（2）若函数()f x 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m
12、的值数学试题参考答案第 1 页 共 9 页理科数学试题参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。112DAADCBDCBDCB1.解析|26Axx，|2Bx x，(2AB，22.解析22(1)|13|1(3)2zii，22(1)11(1)(1)iziiii，1zi ，z 对应的点位于第一象限.3.解析依题意，得 abx0，1a.4.解析模拟执行程序的运行过程知，6.8x，6.82(6.8)6 1.64.4y ，6.8 16 15x ，0 x；4.42.22x，2.22(2.2)20.41.6y ，2.2 121 1x ，0 x；1.60.82x，0.82(0.8)0
13、 1.61.6y ，0.8 1011x ，0 x；1(1.6)2.6z ；即输出2.6z 5.解析由题意椭圆2221(1)xyaa 的右焦点为 F，过点 F 作圆221xy 的切线，若两条切线互相垂直，可得2c，则22c，2223abc，则3a 6.解析2()2sin()3sin(2)163f xxx113sin(2)cos(2)33xx2sin(2)6x,所以该函数对称轴为()26kxkZ.7.解析依题有0202xy，试验的全部结果构成以 2 为边长的正方形，其面积为4.因为 x，y 能与2构成钝角三角形，由余弦定理及三角形知识得2242xyxy，该不等式组构成如图阴影部分（如右图），其面积
14、为 2，由几何概型概率计算公式得24ba，解得24aba.数学试题参考答案第 2 页 共 9 页CADBHGFE图（2）ADCBIO图（1）8.解析；2020201920192010020201log21,log21,120192019bac20192020202020202019201920202019loglog1loglog,ab 又abbc,10.9.解析根据题意，分 2 步进行分析：1先将6名护士分为3组，若分为1、1、4 的三组，有4615C 种分组方法;若分为1、2、3的三组，有326360C C 种分组方法;若分为 2、2、2 的三组，2226423315C C CA种分组方法
15、，则有15601590种分组方法；2将分好的三组分到三家医院，有336A 种情况，则每家医院至少分到一名护士的不同分派方法种数有906540种.10.解析由()0f x，得2lnaxxx，令xxxxg2ln)(，则1(21)(1)()21xxg xxxx，因此当1x 时，()0g x，()(,0)g x ；当01x时，()0g x，()(,0)g x ，从而要有两个不同的零点，需0a.11.解析如图（1），取 BD 的中点O，连接 AO，CO，则由已知易知BDAO，BDCO，所以AOC为二面角CBDA的平面角，AOCBD面，取 AC 的中点 E，连接OE，设aAC2，在 AOC中，22)3()
16、7(OCAO2，所以ACOE，222aOE24a，BDSVAOCBCDA31BDOEAC21312423261aa2，化简得03424 aa，解得3a或1a，当1a时，AOC=060，舍去，所以32AC.如图（2），把三棱锥BCDA补形成长方体HCFABEDG，使三棱锥BCDA的各棱分别是面对角线，则三棱锥BCDA的外接球数学试题参考答案第 3 页 共 9 页即为长方体HCFABEDG 的外接球，设xBE，yBG，zBH，则222222222)7()7()32(zyzxyx解得6 yx，1z，所以外接球的直径为AE222zyx13，所以四面体 ABCD 外接球的表面积为21344134Sr12
17、.解析coscos45aBbAc由正弦定理得sin cossin cos4 sin.5ABBACsinsinCABCAB()，()，4sin cossin cossin coscos sin5ABBAABAB（），整理得 sin cos9sin coscoscos0)ABBAAB（，两 边 同 除 以 cos cosAB，得 tan9tanAB，由 此 可 得2tantan8tantan11tan tan1 98tan9tantan.ABBABABBBB()AB、是三角形内角且 tanA 与 tanB 同号，AB、都是锐角，即 tan0tan0AB，119tan29tan6tantanBBBB
18、,4tan139tantan886ABBB（），当且仅当19tantanBB，即1tan3B 时，tan AB()的最大值为 43二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.440 xy14.1215.16.2 或10313.解析由题意()22fxxf（2），当2x 时，f（2）42 f（2），解得 f（2）4 ，故2()8f xxx，所 以(2)41612f，故 曲 线()yf x在 点(2,(2)f处 的 切 线 方 程 为124(2)yx，即440 xy14.解析画出 x，y 满足约束条件2313245xyyxx，表示的平面区域，如图所示.要求推荐的人数最多，即 z
19、xy取得最大值.目标函数可化为 yxz ，在可行域内数学试题参考答案第 4 页 共 9 页任意取 x，y 且为正整数，使得目标函数代表的斜率为定值 1，截距最大时的直线过(5,7)A，此时目标函数取得最大值为5712z 15.解析2.12 之前平均数先增后减，但 2.12 新增病例数突然猛增，使得平均数也突然增大.16.解 析当 点 P 在 双 曲 线2222:1(0,0)xyCabab的 渐 近 线byxa上 时，则2(aP b，)a；因 为2125|2PAA A，所以2222()5aaaab，可得2(1)4ab，所以3ab，从而221013bea.当点 P在 双曲线的渐近线为byxa 上时
20、，则2(aPb，)a；因为2125|2PAA A，所以2222()5aaaab，可得2(1)4ab，所以1ab ，可得2e 则双曲线 C 的离心率为2 或103三、解答题：共 70 分。17.证明：（1)点(na，1)na 在直线 210 xy 上，可得121nnaa ，.1 分即有112(1)nnaa ，可得1na 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，可得12nna ，即21nna ，.3 分所以1121(21)2nnnnnaa ，可得数列1nnaa 为等比数列，其公比为 2.5 分解：（2）设22log(1)log 2nnbann，1(1)2nSn n，所以(1)mmSa即为 1(1)2
21、2mm m，可得(1)22mm m恒成立.7 分设(1)2mmm mc，则111(1)(2)(1)(1)(2)222mmmmmmmm mmmcc，.8 分所以当1m 时，21cc，2m 时，32cc，2m 时，1mmcc，数学试题参考答案第 5 页 共 9 页即12345ccccc，可得2332cc为最大值，.10 分即有322，则34，即实数 的最小值为 34.12 分18.证明：（1）连接1D C，则1D C 平面 ABCD，又BC 平面 ABCD，1BCD C.1 分在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC，过点 C 作CGAB于点 G.4AB，2BCCD，/ABCD，3AG，1BG ，22
22、213CG，22932 3ACAGCG，22216ACBCAB，BCAC.3 分又1D C，AC 平面1AD C，1D CACC，BC 平面1AD C.5 分解：（2）由（1）知 AC，BC，1D C 两两垂直，1D C 平面 ABCD，14D DC，12D CCD.以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，1CD 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(2 3A，0，0)，(0B，2，0)，1(0D，0，2)，(2 3AB ，2，0)，1(2 3AD ，0，2).6 分设平面11ABC D 的法向量(nx，y，)z，由12 3202 320AB nxyAD
23、nxz ，取1x，得(1,3,3)n.又1(0CD，0，2)为平面 ABCD 的一个法向量，.9 分设平面11ABC D 与平面 ABCD 所成锐二面角为，则11|2 321cos7|2 7CD nCDn ,.11 分所以平面11ABC D 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为217.12 分19.解：88(1)(4,),5,28(2ppppp 易知P则解得或舍）24xy抛物线方程为.2 分（2）抛物线yx42 的焦点为)10(，F，准线方程为)1,0(,1Hy.3 分设),(),(2211yxByxA，直线 AB 的方程为)0(1kkxy,数学试题参考答案第 6 页 共 9 页代入抛物线
24、方程可得0442 kxx，2121216160,4,4kxxk x x .5 分由,1,HBABBHk k 可得121212121111,1AFHByyyykkkxxxx 又,.7 分整理得,0)1)(1(2121xxyy221212(1)(1)044xxx x即,222212121211()10164x xxxx x.9 分把代入得162221 xx，4)(4111|222121xxyyBFAF则.12 分20.解：（1）当0 x，)时，()e3 cosxf xx，()e3sinxfxx，.1 分当0 x，)时，e0,sin0 xx，则()e3sin0 xfxx，当x，)时，e3x，则()e
25、30 xfx，.3 分则当0 x，)时，()0fx，故()f x 在0，)上单调递增.4 分（2）()esin3xfxxxx，当0 x 时，sin xmx，即sin0 x mx；sin xnx，即 sin0 xnx.5 分令()sing xxtx，则()cosg xxt，.6 分当0t时，在(0,)2x上，()0gx，()g x在(0,)2 上为增函数，()(0)0g xg；.7 分当1t，在(0,)2x上，()0gx，()g x在(0,)2 上为减函数，()(0)0g xg；.8 分当 01t 时，存在唯一的0(0,)2x，使得00()cos0gxxt，当00(0,)xx时，()0gx；当0
26、0(,)2xx时，()0gx，()g x在0(0,)x上单调递增，在0(,)2x上单调递减，0()(0)0g xg，当(0,)2x时，()sin0g xxtx，当且仅当()1022gt ，20t，.10 分综上，当且仅当2t时，()0g x 在(0,)2x上恒成立；当且仅当1t 时，()0g x 在(0,)2x上恒成立.故 m 的最大值为 2，n 的最小值为 1.12 分数学试题参考答案第 7 页 共 9 页21.解：(1)由已知数据可得 x 2357855，y 3345554.1 分)(51yyxxiii(3)(1)(2)(1)0213110，251)(iixx3222022232 26，2
27、51)(iiyy=12120212122.3 分相关系数 rniniiiniiiyyxxyyxx11221)()()(1026225260.98.4 分r0.75，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.5 分(2)记商家周总利润为 Y 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪.安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元.6 分安装 2 台光照控制仪的情形：当 X70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y300010002 000(元)，P(Y2000)10500.2，当 3070 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y13000210001
28、000(元)，P(Y1000)10500.2，当 50X70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y23000110005000(元)，数学试题参考答案第 8 页 共 9 页P(Y5000)35500.7，当 30X50 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y330009000(元)，P(Y9000)5500.1，.10 分故 Y 的分布列为Y100050009000P0.20.70.1E(Y)10000.250000.790000.14600(元).11 分综上可知，为使商家周总利润的期望达到最大，应该安装 2 台光照控制仪.12 分22.选修 44：坐标系与参数方程解：（1）曲线
29、 C 的极坐标方程是2cos4sin0，转换为直角坐标方程为24xy.3 分（2）直线 1l 和直线 2l 的极坐标方程分别是()R 和()2R，其中()kkz所以2cos4sin0，整理得124sin|cos，同理2224sin()4cos2|sincos()2，.6 分所以2211 4sin4cos16|1622 cossinsin 2OABSOA OB，.9 分故 OAB的面积最小值为 16.10 分23.选修 4-5：不等式选讲解：（1）当3m 时，2,1()2|1|325,1xxf xxxx x ，.1 分当1x 时，()40f x 即2 4 0 x ，解得2x；当1x 时，()40f x 即 2 540 x，解得65x，此时无解，综上，不等式的解集为(2,).4 分（2）(2)2,1()(2)2,1mxxf xmxx，令()0f x，则2(1)2xxm或2(1)2xxm(如图)，数学试题参考答案第 9 页 共 9 页则22(,0),(,0),(1,)22ABCmmm，22(1,),(1,)22ACm BCmmm，依题意222(1)(1)022AC BCmmm，解得3m .8 分当3m 时，点 C 在 x 轴上方，不合题意，当3m 时，满足题意故3m .10 分