2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：3.docx

1、明目标、知重点1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形，并能灵活地将公式变形运用1倍角公式(1)S2：sin 22sin_cos_，sin cos sin ；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.2倍角公式常用变形(1)cos_，sin_；(2)(sin cos )21sin_2；(3)sin2，cos2.情境导学利用我们已经学习的公式，能否将2sin 20cos 20进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin 20cos 20

2、做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题探究点一二倍角公式的推导思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示2的三角函数的公式根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ；cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2；tan 2tan().思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否只用sin 或cos 表示cos 2？答cos 2cos2sin2cos2(1cos2)2

3、cos21；或cos 2cos2sin2(1sin2)sin212sin2.探究点二余弦的二倍角公式的变形及应用思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？答二倍角的余弦公式cos 2cos2sin22cos2112sin2变形较多，应用灵活其中sin2，cos2称作降幂公式，sin2，cos2称作升幂公式这些公式在统一角或函数名时非常有用练习1：函数f(x)sin xcos xcos2x的最小正周期是_答案解析f(x)sin 2x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin，T.练习2：函数f(x)cos 2x4sin x的值域是_答案5,3解析f(x)cos 2x4sin x12sin2x4s

4、in x2sin2x4sin x12(sin x1)23.当sin x1时，f(x)max3；当sin x1时，f(x)min5.例1已知sin 2，求sin 4，cos 4，tan 4的值解由，得2.又因为sin 2，cos 2 .于是sin 42sin 2cos 22；cos 412sin22122；tan 4.反思与感悟解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，利用同角三角函数关系及诱导公式解决问题是常用方法跟踪训练1求下列各式的值(1)sin sin；(2)cos215cos275；(3)2cos21；(4).解(1)sinsin()cos，sinsins

5、incos2sincossin.(2)cos275cos2(9015)sin215，cos215cos275cos215sin215cos 30.(3)2cos21cos.(4)tan 60.例2求证：tan4A.证明左边22(tan2A)2tan4A右边，tan4A.反思与感悟利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明跟踪训练2化简：.解方法一原式tan .方法二原式tan .例3在ABC中，cos A，tan B2，求tan(2A2B)的值解方法一在ABC中，由cos A，0A，得sin A .所以tan

6、A，tan 2A，又tan B2，所以tan 2B.于是tan(2A2B).方法二在ABC中，由cos A，0A，得sin A .所以tan A.又tan B2，所以tan(AB).于是tan(2A2B)tan2(AB).反思与感悟解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式，“凑角法”是解决此类三角问题的常用技巧跟踪训练3已知sin，0x，求的值解原式2sin.sincos，且0x，x，sin ，原式2.1cos275cos215cos 75cos 15的值等于()A. B.C. D1答案C解析原式sin215cos215sin 301.2sin4cos4等

7、于()A BC. D.答案B解析原式cos .3._.答案1解析原式tan 15tan(6045)1.4设sin 2sin ，则tan 2的值是_答案解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.呈重点、现规律1对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN)2二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角的常用形式：1cos 22cos2，cos2，1cos 22sin2，sin2. 一、基础过关1若sin

8、，则cos 等于()A BC. D.答案C解析cos 12sin2122.2已知sin cos ，则sin 2等于()A. BC. D答案D解析sin cos ，12sin cos ，sin 2.3若sin()，则cos(2)的值为()A BC. D.答案B解析cos(2)cos(2)cos2()12sin2()2sin2()1.4若1，则的值为()A3 B3 C2 D答案A解析1，tan .3.5已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是()A. B.C D答案A解析设底角为，则，顶角为1802.sin ，cos .sin(1802)sin 22sin cos 2.62sin222.51

9、_.答案解析原式cos 45.7已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscos cos 2sin sin 2.二、能力提升84cos 50tan 40等于()A. B.C. D21答案C解析4cos 50tan 40.9函数ysin 2x2sin2x的最小正周期T为_答案解析ysin 2x(1cos 2x)2sin，T.10已知tan 3，则_.答案3解析tan 3.11(1)已知，化简；(2)化简：sin 50(

10、1tan 10)解(1)，|cos |cos ，|sin |sin .cos .(2)原式sin 501.12求值：(1)sin 6sin 42sin 66sin 78；(2).解(1)原式sin 6cos 48cos 24cos 12.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 501，cos 80sin 10sin210，.三、探究与拓展13已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)absin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin.f(x)的最小正周期为T.(2)x，2x，sin，故当2x即x时，f(x)max1；当2x即x0时，f(x)min.