1、上海市闸北区2015届高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi（a，bR），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值解答：解：=复数是纯虚数，解得：a=4故答案为：4点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2若f（x）为R上的奇函数，当x0时，f（x）=log2（2x），则f（0）+f（2）=2考点：函数奇偶性的性质专题：计
2、算题；函数的性质及应用分析：运用奇函数的定义，已知解析式，可得f（0）=0，f（2）=2，即可得到结论解答：解：f（x）为R上的奇函数，则f（x）=f（x），即有f（0）=0，f（2）=f（2），当x0时，f（x）=log2（2x），f（2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=02=2故答案为：2点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题3设定点A（0，1），若动点P在函数y=（x0）图象上，则|PA|的最小值为2考点：两点间距离公式的应用；函数的图象专题：直线与圆分析：设P（x，1+），|PA|=2由此能求出|PA|的最小值解答：解：设P（x，1+），|
3、PA|=2当且仅当，即x=时，取“=”号，|PA|的最小值为2故答案为：2点评：本题考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用4用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有14个考点：计数原理的应用专题：排列组合分析：本题需要分三类第一类，3个1，1个2，第二类，3个2，1个1，第三类，2个1，2个2，根据分类计数原理可得，或者利用列举法解答：解：方法一：1，2”组成一个四位数，数字“1，2”都出现的共3类，第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有=4种，第二类，3个2，1个1，有3
4、个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有=4种，第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故=6，根据分类计数原理，数字“1，2”都出现的四位数有4+4+6=14个方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14种故答案为14点评：本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题5设nN*，圆的面积为Sn，则=4考点：极限及其运算；圆的标准方程专题：函数的
5、性质及应用分析：利用圆的面积计算公式可得Sn=再利用数列极限运算性质即可得出解答：解：圆的面积为Sn，Sn=4故答案为：4点评：本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质，考查了计算能力，属于基础题6在RtABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为4考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量垂直的条件，可得=0，由M，N是斜边BC上的两个三等分点，得=（+）（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值解答：解：在RtABC中，BC为斜边，则=0，则=（）（+）=（+）（+）=（+）（）=+=9+=4故答案为：4点评：本题考查平面向量的数量
6、积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题7设函数f（x）=sin（x），若存在x0（1，1）同时满足以下条件：对任意的xR，都有f（x）f（x0）成立；x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是考点：正弦函数的图象专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：直接利用题中的已知条件建立关系式先求出，对f（x）f（x0）成立，只需满f（x）f（x0）min即可由于f（x）=sin（x），所以：先求出f（x）的最小值，进一步求出：当x0最小，f（x0）最小时，函数x02+f（x0）2m2，解得：，最后求出结果解答：解：根据题意：对任意的xR，都有f（x）f（x0）成立由于：x0
7、（1，1）所以：对f（x）f（x0）成立，只需满足f（x）f（x0）min即可由于f（x）=sin（x），所以：由于x02+f（x0）2m所以当x0最小，且求出：进一步求出：故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数的值域，函数的恒成立问题和存在性问题，属于基础题型8如果不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）的子集，则实数a的取值范围是（，5考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论解答：解：不等式x2|x1|+a等价为x2|x1|a0，设f（x）=x2|x1|a，若不等式x2|x1|+a的解集是区间（3，3）
8、的子集，则，即，则，解得a5，故答案为：（，5点评：本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键9（6分）关于曲线C：x4y3=1，给出下列四个结论：曲线C是双曲线； 关于y轴对称；关于坐标原点中心对称； 与x轴所围成封闭图形面积小于2则其中正确结论的序号是（注：把你认为正确结论的序号都填上）考点：曲线与方程分析：根据题意，依次分析4个命题：对于：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得错误；对于：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点（x，y），是否都在曲线上，即可得正确；对于：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（x，y），是否都在曲线上，即可得错误，对
9、于：将曲线方程变形为y=，分析其与x轴所围成的面积，即可得答案解答：解：根据题意，依次分析4个命题：对于：曲线C：x4y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；错误；对于：若点（x，y）在曲线上，则有x4y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（x，y），也有（x）4y3=1成立，则点（x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，正确；对于：若点（x，y）在曲线上，则有x4y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（x，y），（x）4（y）3=1不成立，则点（x，y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，错误；对于：曲线C：x4y3=1，变形可得y=，分析可得其是开放性曲线，与x轴
10、所围成的面积无最大值，故错误；故答案为点评：本题考查曲线与方程，解题的关键是根据曲线的方程，分析曲线的几何形状与具有的几何性质二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10（6分）“a2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：由方程组得y=，得到a2且a1，从而求出a的范围解答：解：由有唯一解得：y=，a2且a1，a2”是“关于x，y的二元一次方程组
11、有唯一解”的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了二元一次方程组的解法，是一道基础题11已知等比数列an前n项和为Sn，则下列一定成立的是（）A若a30，则a20130B若a40，则a20140C若a30，则S20130D若a40，则S20140考点：等比数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：对于选项A，B，D可通过q=1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q0，q0来证明即可得答案解答：解：对于选项A，可列举公比q=1的等比数列1，1，1，1，显然满足a30，但a2013=10，故错误；对于选项B，可列举公比q=1的等比数列1，1，1，1，显然满足a40，但a2014
12、=0，故错误；对于选项D，可列举公比q=1的等比数列1，1，1，1，显然满足a20，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1q20，所以 a10当公比q0时，任意an0，故有S20130；当公比q0时，q20130，故1q0，1q20130，仍然有S2013 =0，故C正确，故选C点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题12对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素eA，使得对任意aA，都有ea=ae=a，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素例如：A=R，运算“”为普通
13、乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1a=a1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素下面给出三个集合及相应的运算“”：A=R，运算“”为普通减法；A=Amn|Amn表示mn阶矩阵，mN*，nN*，运算“”为矩阵加法；A=X|XM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）ABCD考点：进行简单的合情推理专题：计算题；推理和证明分析：根据单位元素的定义，对三个集合及相应的运算“”进行检验即可解答：解：若A=R，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；A=Amn|Amn表示mn阶矩阵，mN*，nN*，运算“”为矩阵加法，其单
14、位元素为全为0的矩阵；A=X|XM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集，其单位元素为集合M故选D点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤13（18分）请仔细阅读以下材料：已知f（x）是定义在（0，+）上的单调递增函数求证：命题“设a，bR+，若ab1，则”是真命题证明 因为a，bR+，由ab1得a0又因为f（x）是定义在（0，+）上的单调递增函数，于是有 同理有 由+得故，命题“设a，bR+，若ab1，则”是真命题请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问
15、题：（1）试用命题的等价性证明：“设a，bR+，若，则：ab1”是真命题；（2）解关于x的不等式f（ax1）+f（2x）f（a1x）+f（2x）（其中a0）考点：抽象函数及其应用；四种命题；其他不等式的解法专题：函数的性质及应用分析：（1）先写出原命题的逆否命题：设a，bR+，若ab1，则：，由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题，证明原命题的逆否命题为真命题；（2）利用（1）的结论有：ax12x1，即：（2a）xa，再分当2a1时、当02a1时、当2a=1时三种情况，写出不等式的解集解答：解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题原命题的逆否命题：设a，bR+，若ab1，则：，下面证明原命
16、题的逆否命题为真命题：因为a，bR+，由ab1，得：，又f（x）是定义在（0，+）上的单调递增函数所以（1）同理有：（2）由（1）+（2）得：所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题（2）由（1）的结论有：ax12x1，即：（2a）xa当2a1时，即时，不等式的解集为：（log2aa，+）当02a1时，即时，不等式的解集为：（，log2aa）当2a=1时，即时，不等式的解集为：R点评：本题主要考查抽象函数的综合应用，并同时考查证明真命题的方法，其中，原命题与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键14（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，
17、该曲线段是函数y=Asin（x+）（A0，0，（0，），x4，0的图象，图象的最高点为B（1，2）边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CDEF游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且POE=，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值考点：在实际问题中建立三角函数模型专题：计算题；应用题；作图题；函
18、数的性质及应用分析：（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求，从而求解析式；（2）令求解x，从而求景观路GO的长；（3）作图求平行四边形的面积SOMPQ=OMPP1=（2cossin）2sin=sin（2+），（0，）；从而求最值解答：解：（1）由已知条件，得A=2，又，又当x=1时，有，曲线段FBC的解析式为（2）由得，x=6k+（1）k4（kZ），又x4，0，k=0，x=3，G（3，1），；景观路GO长为千米（3）如图，作PP1x轴于P1点，在RtOPP1中，PP1=OPsin=2sin，在OMP中，=，OM=2cossin，SOMPQ=OMPP1=（2cossin）2sin=sin（2
19、+），（0，）；当2+=时，即=时，平行四边形面积有最大值为（平方千米）点评：本题考查了三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属于中档题15（20分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a0，b0）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线y2=8x有一个公共的焦点（1）求椭圆C方程；（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；（3）P为直线x=3上的一点，在第（2）题的条件下，若ABP为等边三角形，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意得c=2，由此能求出椭圆方程（2）直线l的方程为y=k（x2）联立
20、方程组，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出|AB|（3）设AB的中点为M（x0，y0）由中点坐标公式得，直线MP的斜率为，又xP=3，由此利用弦长公式能求出k=1，从而求出直线l的方程解答：解：（1）由题意得F1（2，0），c=2（2分）又，得a48a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），（2分）则b2=2，（1分）故椭圆方程为（1分）（2）直线l的方程为y=k（x2）（1分）联立方程组，消去y并整理得（3k2+1）x212k2x+12k26=0（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）故，（1分）则|AB|=|x1x2|=（2分）（3）
21、设AB的中点为M（x0，y0）=2x0，（1分）y0=k（x02），（1分）直线MP的斜率为，又 xP=3，所以（2分）当ABP为正三角形时，|MP|=，可得，（1分）解得k=1（1分）即直线l的方程为xy2=0，或x+y2=0（1分）点评：本题考查椭圆C方程的求法，考查弦AB的长的求法，考查直线l的方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用16（20分）设数列an满足：a1=1；所有项anN*；1=a1a2anan+1设集合Am=n|anm，mN*，将集合Am中的元素的最大值记为bm换句话说，bm是数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值我们称数列bn为数列an的伴随
22、数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1）若数列an的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列an；（2）设an=3n1，求数列an的伴随数列bn的前100之和；（3）若数列an的前n项和Sn=n+c（其中c常数），试求数列an的伴随数列bn前m项和Tm考点：数列的求和；数列的应用专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列an；（2）根据伴随数列的定义得：，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列bn的前100项以及它们的和；（3）由题意和an与Sn的关系式求出an，代入anm得，并求出伴随数列bm的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列bm的
23、前m项和Tm解答：解：（1）1，4，7 （6分）（2）由，得当1m2，mN*时，b1=b2=1（1分）当3m8，mN*时，b3=b4=b8=2（1分）当9m26，mN*时，b9=b10=b26=3（1分）当27m80，mN*时，b27=b28=b80=4（1分）当81m100，mN*时，b81=b82=b100=5（1分）b1+b2+b100=12+26+318+454+520=384（1分）（3）a1=S1=1+c=1c=0（1分）当n2时，an=SnSn1=3n2（2分）由an=3n2m得：因为使得anm成立的n的最大值为bm，所以 （1分）当m=3t2（tN*）时：（1分）当m=3t1（tN*）时：（1分）当m=3t（tN*）时：（1分）所以（其中tN*）（1分）点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题