1、第二课时参数方程1曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)0叫做普通方程2参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数(2)普通方程化参数方程：如果xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，则得曲线的参数方程3直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数
2、方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆(xa)2(yb)2r2 (为参数)椭圆1(ab0) (为参数)1.参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等(2)常用公式：cos2sin21，1tan2.2直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)|M1M2|t1t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.1(基础知识：直线的参数方程)已知直线l的参数方程为(t为参数
3、)，则直线l的斜率为()A.1 B1C D答案：B2(基本能力：直线与圆的参数方程)直线yx与曲线(为参数)的交点个数为()A0 B1C2 D3答案：C3(基本能力：直线的参数方程)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为_答案：34(基本方法：参数方程和普通方程的互化)曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_答案：y2x2(1x1)5(基本应用：椭圆的参数方程)椭圆(为参数)的离心率为_答案：题型一参数方程与普通方程的互化 典例剖析典例(1)将曲线C的参数方程(t为参数)化成普通方程为_解析：由x1t，得t2x2，y2(2x2)，xy20.答案：xy20(2)已知两曲线参数
4、方程分别为(0)和(tR)，它们的交点的直角坐标为_解析：由题意可得(0)的普通方程为y21(y0)，(tR)的普通方程为y2x.联立得方程x24x50，x1或x5(舍去).又交点在第一象限，将x1代入y21(y0)，得y，交点的直角坐标为.答案：方法总结将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2cos21等).提醒将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解对点训练已知直线l的参数方程为xa2t，y4t
5、(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解析：(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2，即实数a的取值范围为2，2.题型二参数方程的应用 典例剖析类型 1直线参数方程的应用例1(2021广东揭阳模拟)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos 2a2(aR，a为常数)，过点P(2，1)，倾斜角为30的直线l的参数方程满足x2t(t为参数).(1)求曲线C的普通方程和直线l的
6、参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点(点P在A，B之间)，且|PA|PB|2，求a和|PA|PB|的值解析：(1)由2cos 2a2得2(cos2sin2)a2，又xcos，ysin ，得x2y2a2，曲线C的普通方程为x2y2a2.过点(2，1)，倾斜角为30的直线l的普通方程为y(x2)1，由x2t得y1t，直线l的参数方程为(t为参数).(2)将代入x2y2a2，得t22(21)t2(3a2)0，依题意知2(21)28(3a2)0，则方程的根t1，t2就是交点A，B对应的参数，t1t22(3a2)，由参数t的几何意义知|PA|PB|t1|t2|t1t2|，得|t1t2|2.点
7、P在A，B之间，t1t20，t1t22，即2(3a2)2，解得a24(满足0)，a2.|PA|PB|t1|t2|t1t2|，又t1t22(21)，|PA|PB|42.类型 2圆或圆锥曲线的参数方程的应用 例2(2019高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解析：(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)，l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，).C上的点
8、到l的距离为.当时，4cos 11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.方法总结1应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义2圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键题组突破1在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什
9、么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(cos 2sin )7距离的最小值解析：(1)曲线C1：(t为参数)，化为(x4)2(y3)21，所以C1为圆心是(4，3)，半径是1的圆C2：(为参数)，化为1.C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4，4)，Q(8cos ，3sin )，故M，直线C3：(cos 2sin )7化为x2y7，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5sin ()13|，从而当cos ，sin 时，d取得最小值.2已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(为参数).(1)设l
10、与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值解析：(1)直线l的普通方程为y(x1)，曲线C1的普通方程为x2y21，由解得l与C1的交点坐标分别为(1，0)，故|AB|1.(2)由题意得，曲线C2的参数方程为(为参数)，则点P的坐标是，所以点P到直线l的距离d，故当sin 1时，d取得最小值，最小值为.题型三极坐标方程与参数方程的综合应用 典例剖析典例(2020高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为xcoskt，ysinkt(t为参数).以坐标原点为
11、极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos 16sin 30.(1)当k1时，C1是什么曲线？(2)当k4时，求C1与C2的公共点的直角坐标解析：(1)当k1时，C1：消去参数t得x2y21，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆(2)当k4时，C1：xcos4t，ysin4t，消去参数t得C1的直角坐标方程为1.C2的直角坐标方程为4x16y30.由解得故C1与C2的公共点的直角坐标为.方法总结参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程
12、(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的对点训练在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为(0，R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A，B均异于原点O，且|AB|4，求的值解析：(1)由(为参数)消去参数可得C1的普通方程为(x2)2y24.4sin ，24sin ，由得曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24.(2)由(
13、1)得曲线C1的普通方程为(x2)2y24，其极坐标方程为4cos ，由题意设A(1，)，B(2，)，则|AB|12|4|sin cos |44，sin 1，k(kZ).0，.(2020高考全国卷)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：x4cos2，y4sin2(为参数)，C2：(t为参数).(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程解析：(1)C1的普通方程为xy4(0x4).由C2的参数方程得x2t22，y2t22，所以x2y24，故C2的普通方程为x2y24.(2
14、)由得所以点P的直角坐标为.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0，0)，由题意得x，解得x0.因此所求圆的极坐标方程为cos .(2020鞍山模拟)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l：(t为参数)与曲线C：(为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若，求线段AB的中点M的直角坐标；(2)若|PA|PB|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率解析：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是y21.当时，直线l的方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程y21，得13t256t480，设直线l上的点A，B，M对应的参数分别为t1，t2，t0.则t0，所以点M的直角坐标为.(2)设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2.将代入曲线C的普通方程y21得t2(8sin4cos )t120.因为|PA|PB|t1t2|，|OP|27，所以7，得tan2.结合32cos(2sin cos )0可知tan .所以直线l的斜率为.
