1、第三节变量间的相关关系与统计案例1相关关系与回归方程(1)相关关系的分类：正相关：从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内；负相关：从散点图上看，点分布在从左上角到右下角的区域内(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线(3)回归方程：最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程为x，则其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距(4)样本相关系数：，用它来衡量两个
2、变量间的线性相关关系当r0时，表明两个变量正相关；当r0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系2独立性检验(1)22列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称22列联表)为：y1y2合计x1ababx2cdcd合计acbdabcd(2)K2统计量：k(其中nabcd为样本容量).1两种关系函数关系与相关关系(1)区别：函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系函数关系是一种因果关系，相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系(2)联系：对线性相关关系求回归方程后，可以通过确定的函数关系对两个变量间的取值进行估计2回归直线方程的两
3、个关注点(1)样本数据点不一定在回归直线上，回归直线必过(，)点(2)在回归直线方程x中，0时，两个变量呈正相关关系；0时，两个变量呈负相关关系3回归分析的意义回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法在线性回归模型ybxae中，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量4独立性检验利用独立性假设、随机变量K2来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准：统计学研究表明：当K22.706时，认为没有充分证据显示X
4、与Y有关系；当K23.841时，有95%的把握说X与Y有关；当K26.635时，有99%的把握说X与Y有关；当K210.828时，有99.9%的把握说X与Y有关1(基础知识：回归分析的相关指数)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是 ()A模型1的相关指数R2为0.98B模型2的相关指数R2为0.80C模型3的相关指数R2为0.50D模型4的相关指数R2为0.25答案：A2(基本应用：回归直线方程的特征)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：x681012y2356则y对x的线性回归直线方程为()A2
5、.3x0.7 B2.3x0.7C0.7x2.3 D0.7x2.3答案：C3(基础知识：独立性检验)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_.答案：5%4(基本运算：回归直线方程的特征)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(
6、min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_答案：685(基本能力：回归直线方程的应用)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是_(填序号)y与x具有正的线性相关关系；回归直线过样本点的中心(，)；若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg.答案：题型一回归分析典例剖析类型 1相关关系的判断 例1(1)(2021云南昆明诊断
7、)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是()A利润率与人均销售额成正相关关系B利润率与人均销售额成负相关关系C利润率与人均销售额成正比例函数关系D利润率与人均销售额成反比例函数关系解析：利润率随人均销售额增大而增大是相关关系，而不是函数关系答案：A(2)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()Ar2r40r3r1 Br4r20r1r3Cr4r20r3r1 Dr2r40r1r3解析：易知题中图与图是正相关，图与
8、图是负相关，且图与图中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2r40r30时，正相关；10.828，有99.9%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀1(2020高考全国卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1，2，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 至40 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()Ayabx Byabx2Cyabex Dyab ln x解析：由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近答案：D2(2020高考全国卷)
9、某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级0，200(200，400(400，6001(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公
10、园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析：(1)由所给数据，得该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(100203003550045)350.(3)根据所给数据，可得22列联表：人次400人次400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得K2的观测值k5.820.由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人
11、次与该市当天的空气质量有关(2020山东高三模拟)共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22
12、列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户120不常使用共享单车用户80合计16040200(2)将(1)中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望参考数据：独立性检验界值表P(K2k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中，K2，nabcd.解析：(1)补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户10020120不常使用共享单
13、车用户602080合计16040200于是a100，b20，c60，d20，n200，K22.0832.072，有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关(2)由(1)的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为100%10%，即在抽取的用户中出现经常使用共享单车的“非年轻人”的概率为0.1，XB(3，0.1)，X0，1，2，3，P(X0)(10.1)30.729，P(X1)C0.1(10.1)20.243，P(X2)C0.12(10.1)0.027，P(X3)0.130.001，X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望E(X)30.10.3.