1、1如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O24过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PMPN试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(2，0)，O2(2，0)由已知PMPN，所以PM22PN2又因为两圆的半径均为1，所以PO12(PO1)设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233所以所求动点P的轨迹方程为(x6)2y233(或x2y212x30)2(2019江苏名校联考)已知抛物线y24x的焦点为F，如图，过点(0，3)的直线与抛物线交于A，B两点，
2、线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若AFBF6，求点D的横坐标解 由题意知，抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线为x1，设AB的中点为H，A，B，H在准线上的射影分别为A，B，H，连结AA，BB，HH，则HH(AABB)由抛物线的定义可得，AFAA，BFBB，又AFBF6，所以AABB6，HH63，故点H的横坐标为2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx3(k0)，代入抛物线的方程，可得k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，解得k0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F(1)求抛物线的方程；(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A
3、处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论解 (1)由题意知点P到原点的距离为PO，由抛物线的定义知，点P到准线的距离等于PF，所以POPF，即点P在线段OF的中垂线上，所以，p3，所以抛物线的方程为y26x(2)如图，由抛物线的对称性，不妨设点A在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，所以点A处切线的方程为yy0，令上式中y0，得xy，所以点B的坐标为，又E，F，所以，所以，所以FABE，又AEFB，故四边形AEBF为平行四边形再由抛物线的定义，得AFAE，所以平行四边形AEBF为菱形4在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0
4、)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解 (1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0故所求切线方程为xya0和xya0(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0故x1x24k，x1x24a从而k1k2当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意
