1、第二部分专题四第1讲(理科)专题训练十四概率、随机变量及其分布列一、选择题1(2020沧州七校联考)某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某车在这条路上行驶时三处都不停车的概率是(A)ABCD【解析】由P(ABC)，故选A2(2020益阳模拟)轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱OO中，以底面圆O为底面圆，OO的中点O为顶点作圆锥OO，现在等边圆柱OO中随机取一点，则该点取自圆锥OO内的概率是(C)ABCD【解析】设等边圆柱OO的高为h，由几何概型的概率计算公式知，该点取自圆锥OO内的概率是P，故选C3(2020福建模拟)已
2、知随机变量XN(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4A0.135 9B0.658 7C0.728 2D0.864 1【解析】由题意P(0X1)(0.954 40.682 6)0.135 9在正方形OABC内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为P0.864 1故选D4(2020梅州一模)抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是(D)ABCD【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现
3、的概率相同，即正面向上的概率为，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率P332245.故选D5(2020四川省成都市期末)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组，有实数解的概率为(B)ABCD【解析】因为方程组有解，故直线axby80与圆x2y24有公共点，所以2即a2b216，当a1时，b4,5,6，有3种情形；当a2时，b4,5,6，有3种情形；当a3时，b3,4,5,6，有4种情形；当a4,5,6时，b1,2,3,4,5,6，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(a，b)共有36种不同的情形，故所求的概率为.故选B6(2020诸暨市模拟)随机变量的分布列如
4、表，若E()0，则D()(A)303PabA6B2C0D【解析】由题可知，ab1，ab，E()30a3b0，解得b，a，D()(30)2(00)2(30)26故选A7(2020四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(阴影部分)，若在ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)ABCD【解析】设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是DEF
5、的面积是11，勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3，ABC面积为，所求概率P.故选C8(2020嵊州市二模)设0p，随机变量X的分布列是X101Pp(1p)12pp(1p)则当p在内增大时(A)AE(X)增大，D(X)增大BE(X)减小，D(X)增大CE(X)增大，D(X)减小DE(X)减小，D(X)减小【解析】令p，则E(X)101，D(X)222.令p，则E(X)101，D(X)222.，n3时，P(D)2.综上，n1或n2时，P(D)，n3时，P(D).15(2020中卫三模)2020新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶、接触等途径，为了有效
6、抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施某市为有效防护疫情，宣传居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送(配送费由政府补贴)快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪送件提成”这两家公司对“快递员”的日工资方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成5元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司往年忙季各随机抽取一名快递员并调取其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员一日工资y(单位：元)与送件数n的函数关
7、系；(2)若将频率视为概率，回答下列问题：记甲公司的“快递员”日工资为X(单位：元)求X的分布列和数学期望；小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由【解析】(1)由题可知，当0n83时，y120元；当n83时，y120(n83)55n295，乙公司的快递员一日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系为：y.(2)X的所有可能取值为152,154,156,158,160，将频率视为概率，由条形图可知，P(X152)0.1，P(X154)0.2，P(X156)0.1，P(X158)0.4，P(X160)0.2X的分布列为X152154156158160P0.10.20.10.40.2数学期望E(X)1520.11540.21560.11580.41600.2156.8(元)设乙公司的日工资为Y元，则E(Y)12000.150.1150.2250.3350.3141.5(元)由于E(X)E(Y)，所以小王应该到甲公司应聘“快递员”的工作