1、第一节集 合1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性 (2)元素与集合的两种关系：属于，记为，不属于，记为(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR2.集合间的基本关系表示关系 文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同AB且BAAB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB(B)3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示ABx|xA或x
2、BABx|xA且xBUAx|xU且xA1.集合运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB).2集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n1个，真子集有2n1个3两个防范(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性1(基础知识：元素与集合)若集合AxN|x，a2 ，则下面结论中正确的是()Aa
3、A BaACaA DaA答案：D2(基本能力：运算)已知集合Ax|x2160，则RA()Ax|x4 Bx|4x4Cx|4x4 Dx|x4或x4答案：D3(基本方法：定义、数形结合)设全集UR，集合Ax|x10，集合Bx|x2x60，则下图中阴影部分表示的集合为()Ax|x3 Bx|3x1Cx|x2 Dx|2x1答案：D4(基本应用：应用AB求集合)已知集合A0，1，2，集合B满足AB0，1，2，则集合B有_个答案：85(基本应用：应用集合相等求参数)设集合A1，3，Bx|x24xm0若AB，则m_答案：3题型一集合的概念1(元素与集合)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的
4、个数为()A9 B8 C5 D4解析：由题意可知A(1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)，故集合A中共有9个元素答案：A2(集合的表示法)已知集合M，N，则MN()A B(3，0)，(0，2)C2，2 D3，3解析：因为集合Mx|3x3，NR，所以MN3，3.答案：D3(元素与集合的表示法)设集合A，B|a2|，2，已知4A且4B，则a的取值集合为_解析：因为4A，即4，所以a23a4或a74.若a23a4，则a1或a4；若a74，即a30，a23a20，则a1或a2.由a23a与a7互异，得a1，故a2或a4.又4B，即4|
5、a2|，2，所以|a2|4，解得a2且a6.综上所述，a的取值集合为4答案：44(集合表示的意义)集合x|x2ax0有两个元素，分别为0和1，则a的值为_解析：0和1为方程x2ax0的两根，01a，a1.答案：1方法总结与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么(2)看这些元素满足什么限制条件(3)注意元素的三个特性，特别是互异性 题型二集合间的基本关系 典例剖析典例(1)(判断关系)已知集合A，B，集合A与B的关系描述为_答案：AB(2)(应用关系)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_审题互动：“BA”在数轴上如何表示？A、B的端点有什
6、么关系？解析：因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为(，3.答案：(，3方法总结1判定集合间的基本关系的方法：(1)化简集合，从解析式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图来直观解决这类问题提醒在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解对点训练1已知集合Ax|y ，xR，Bx|xm2，mA，则()AAB BBACAB DBA解析：Ax|1x1，Bx|0
7、x1，故BA.答案：B2已知集合Ax|x22x30，xN*，则集合A的真子集的个数为()A7 B8C15 D16解析：Ax|(x3)(x1)0，xN*1，2，3，真子集个数为2317.答案：A3已知集合Ax|x2x60，Bx|mx10，且ABB，则实数m的取值集合是_解析：Ax|x2x603，2，由ABB，知BA.当B时，m0，满足题意当B，即m0时，B，可得2或3，所以m或m.综上，m的取值集合为.答案：4(母题变式)将本例(2)中的集合A改为Ax|x2或x5，如何求解？解析：因为BA，所以当B，即2m1m1时，m2，符合题意当B时，或解得或即m4.综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，
8、).答案：(，2)(4，)题型三集合的运算典例剖析类型 1基本能力例1(1)(数轴分析法)(2019高考全国卷) 已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN()Ax|4x3 Bx|4x2Cx|2x2 Dx|2x3解析：由x2x60，得(x3)(x2)0，解得2x3，即Nx|2x3，画出数轴，MNx|2x2答案：C(2)(概念分析法)设集合A1，2，3，4，B1，0，2，3，CxR|1x2，则(AB)C()A1，1 B0，1C1，0，1 D2，3，4解析：由题意得AB1，0，1，2，3，4，又CxR|1x2，(AB)C1，0，1答案：C(3)(Venn图分析法)设集合A1，0，1，2，B，则
9、图中阴影部分所表示的集合为()A1 B0C1，0 D1，0，1解析：由题意得图中阴影部分表示的集合为A(RB).Bx|yx|x210x|x1或x1，RBx|1x1，A(RB)0答案：B类型 2利用运算求参数例2(1)已知A1，2，3，4，Ba1，2a若AB4，则a()A3 B2C2或3 D3或1解析：AB4，a14或2a4，若a14，则a3，此时B4，6，符合题意；若2a4，则a2，此时B3，4，不符合题意综上，a3.答案：A(2)已知xR，集合A0，1，2，4，5，集合Bx2，x，x2，若AB0，2，则x()A2 B0C1 D2解析：因为A0，1，2，4，5，Bx2，x，x2，且AB0，2，
10、所以或当x2时，B0，2，4，AB0，2，4(舍)；当x0时，B2，0，2，AB0，2综上，x0.答案：B(3)已知集合A4，a，BxZ|x25x40，若A(ZB)，则实数a的值为()A2 B3C2或4 D2或3解析：因为BxZ|x25x40，所以ZBxZ|x25x402，3又集合A4，a，若A(ZB)，则a2或a3.答案：D方法总结1一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点取舍的情况2运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化题组突破1设集合Mx|x4，集合Nx|x22x0，则下列关系中正确的是()
11、AMNM B.M(RN)MCN(RM)R DMNM解析：由题意可得，N(0，2)，M(，4)，NM，所以MNM.答案：D2已知集合Mx|x24x0，Nx|mx5若MNx|3xn，则mn等于()A9 B8C7 D6解析：由x24x0得0x4，所以Mx|0x4又因为Nx|mx5，MNx|3xn，所以m3，n4，mn7.答案：C3设集合A(x，y)|xy1，B(x，y)|xy3，则满足M(AB)的集合M的个数是()A0 B1C2 D3解析：由题意可知，集合A表示直线xy1上的点，集合B表示直线xy3上的点，联立可得AB(2，1)，M为AB的子集，可知M可能为(2，1)，所以满足M(AB)的集合M的个
12、数是2.答案：C (2019高考全国卷)西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6C0.7 D0.8解析：法一(求频数)：设调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为x，则x806090，解得x70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.法二(集合思维)：用Venn图表示调查
13、的100位学生中阅读过西游记和红楼梦的人数之间的关系，如图所示：易知调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.答案：C1(2021中原名校联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”对于集合A，Bx|ax21，a0，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为()A0，1 B1，4C0，4 D0，1，4解析：当a0时，B为空集，满足BA，此时A与B构成“全食”；当a0时，B，由题意知1或，解得a1或a4.故a的取值集合为0，1，4答案：D2定义：设有限集合Ax|xai，in，iN*，nN*，Sa1a2an1an，则S叫做集合A的模，记作|A|.若集合Px|x2n1，nN*，n5，集合P含有四个元素的全体子集为P1，P2，Pk，kN*，则|P1|P2|Pk|_解析：依题意知，集合P1，3，5，7，9，则集合P含有四个元素的全体子集为3，5，7，9，1，5，7，9，1，3，7，9，1，3，5，9，1，3，5，7由条件中“模”的定义知，|P1|P2|Pk|(3579)(1579)(1379)(1359)(1357)100.答案：100