1、专题二 三角函数与平面向量第3讲 平面向量一、选择题1(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30B45C60D120解析：|1，|1，cos ABC.因为ABC0，180，所以ABC30.答案：A2(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：存在负数，使得mn，则mnnn|n|20，因而是充分条件，反之mn0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件答案：A3(2017长春中学联考)设xR，向量a(x，1)，b(4，2)，且ab，则|ab|()A. B5 C. D.解析：因为ab
2、，所以x(2)14，得x2，所以ab(2，1)，|ab|.答案：A4.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则等于()A BC D解析：因为2，圆O的半径为1，所以|，所以()()2()01.答案：B5(2017安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a0，ab)满足|a|3，且b与ba的夹角为30，则|b|的最大值为()(导学号 55410109)A2 B4 C6 D8解析：令a，b，则ba，如图，因为b与ba的夹角为30，所以OBA30，因为|a|3，所以由正弦定理得，|b|6sin OAB6.答案：C二、填空题6(2017全国卷)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，
3、则m_解析：由题意，得233m0，所以m2.答案：27(2017潍坊二模)如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，向量，的夹角为60，则|_解析：向量，的夹角为60，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即答案：8(2017济南调研)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_解析：令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则|cos Acbcos Atan A，因为A，所以bc，即bc，所以ABC的面积Sbcsin A.答案：三、解答题9设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(导学号 55410110)(1)若|a|b|，求x的
4、值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解：(1)由题意，得|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2cos2 xsin2x1，因为|a|b|，所以4sin2x1.由x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.10已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且pq.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解：(1)因为pq，所以p
5、q(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，则sin2Bcos2B2sin2B20，即sin2B，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sin B，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为，所以SABCacsin B，即ac4.由余弦定理得b2a2c22accos B，又b2，所以a2c28，取立，解得ac2.11(2017淄博诊断)已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，与f(x)图象的对称轴x相邻的f(x)的零点为x.(导学号 55410111)(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；(2)设ABC的内角A，B，C的对应边
6、分别为a，b，c，且c，f(C)1，若向量m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，求a，b的值解：(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin，由于f(x)图象的对称轴x相邻的零点为x，得，所以1，则f(x)sin.令z2x，函数ysin z单调增区间是，kZ，由2k2x2k，得kxk，kZ.设A，B，易知AB，所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)sin10，则sin1.因为0C，所以2C，从而2C，解得C.因为m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，所以sin B2sin A，由正弦定理得，b2a，由余弦定理得c2a2b22abco
7、s ，即a2b2ab3由解得a1，b2.(对应学生用书P33)典例(本小题满分12分)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长规范解答：(1)因为2cos C(acos Bbcos A)c，由正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，(1分)得2cos Csin(AB)sin C(3分)因为ABC，A，B，C(0，)，所以sin(AB)sin C0，所以2cos C1，cos C.(5分)因为C(0，)，所以C.(6分)(2)由余弦
8、定理c2a2b22abcos C，得7a2b22ab，(ab)23ab7，Sabsin Cab，所以ab6，(10分)所以(ab)2187，ab5，所以ABC的周长为abc5.(12分)1牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解3写全得分关键：在三角函数及解三
9、角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点ab6才能得分解题程序第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式；第二步：利用三角恒等变换化简关系式；第三步：求C的余弦值，求角C的值第四步：利用三角形的面积为，求出ab的值；第五步：根据c，利用余弦定理列出a，b的关系式；第六步：求(ab)2的值，进而求ABC的周长跟踪训练(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(导学号 55
10、410035)(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解：(1)因为ABC面积S，且Sbcsin A，所以bcsin A，所以a2bcsin2A，由正弦定理得sin2Asin Bsin Csin2A，由sin A0得sin Bsin C.(2)由(1)及题设，得sin Bsin C，cos Bcos C，因为ABC，所以cos Acos(BC)cos(BC)sin Bsin Ccos Bcos C，又因为A(0，)，所以A，sin A，cos A，由余弦定理得a2b2c2bc9.由正弦定理得bsin B，csin C，所以bcsin Bsin C8，由得bc，所以abc3，即ABC周长为3.