1、8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦学 习 目 标核 心 素 养1能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点)2能利用公式解决简单的化简求值问题(重点)1通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养2借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新问题(1)由诱导公式
2、及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？(2)用类比的方法，由sin()能推导出sin()吗？提示(1)sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .(2)由sin()sin()sin cos ()cos sin()sin cos cos sin .1两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Ssin()sin_cos_cos_sin_，R两角差的正弦Ssin()sin_cos_cos_sin_，R思考：对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？提示可简单记为“正余余正，符号同”，既展开后的两项
3、分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同2辅助角公式asin xbcos xsin(x)(或asin xbcos xcos(x)，其中sin ，cos (或cos ，sin 思考：辅助角公式是如何推导出来的？提示推导过程：asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)sin 56cos 26cos 56sin 26sin 30.()
4、提示(1).根据公式的推导过程可得(2).当30时，0时，sin()sin sin .(3).因为sin 56cos 26cos 56sin 26sin(5626)sin 30，故原式正确答案(1)(2)(3)2cos 17sin 13sin 17cos 13的值为()ABCD以上都不对A原式sin(1317)sin 30.3函数ysin xcos x的最小正周期是()ABC2D4Cysin xcos xsin，所以函数的最小正周期为T2.4已知为锐角，sin ，是第四象限角，cos()，则sin()_.0因为为锐角，且sin ，所以cos .又为第四象限角，且cos()cos ，所以cos
5、，sin .所以sin()0.利用公式化简求值【例1】(1)()ABCD(2)求sin 157cos 67cos 23sin 67的值(3)求sin(75)cos(45)cos(15)的值思路探究(1)化简求值应注意公式的逆用(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值(1)Csin 30.(2)解原式sin(18023)cos 67cos 23sin 67sin 23cos 67cos 23sin 67sin(2367)sin 901.(3)解sin(75)cos(45)cos(15)sin(1560)cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60cos(1
6、5)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15)0.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：化为特殊角的三角函数值；化为正负相消的项，消去，求值；化为分子、分母形式，进行约分再求值.(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换.1化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos()解(1)原式sin x
7、cos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.给值(式)求值【例2】设，若cos ，sin ，求sin()的值思路探究应用公式注意角的范围求出所给角的正弦值解因为，cos ，所以sin ，因为，sin ，所以cos .所以sin()sin cos cos sin .1(变条件)若将角的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？解因为，cos ，所以sin .因为为第三象限，所以cos .所以sin()sin cos cos sin 0.2(变
8、结论)若条件不变，试求sin()cos()的值解sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 1.给值求值的解题策略(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 辅助角公式的应用探究问题1函数f(x)sin xcos x(xZ)的最大值为2对吗？为什么？提示不对因
9、为sin xcos xsin，所以函数的最大值为.2函数f(x)3sin x4cos x的最大值等于多少？提示因为f(x)3sin x4cos x5，令cos ，sin ，则f(x)5(sin xcos cos xsin )5sin(x)，所以函数的最大值为5.【例3】设函数f(x)sin xsin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数yf(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到思路探究辅助角公式转化成“一角一函数”的形式将所给函数展开与合并解(1)f(x)sin xsin xcos cos xsin sin xsin xcos xs
10、in xcos xsin，当sin1时，f(x)min，此时x2k(kZ)，所以x2k(kZ)所以f(x)的最小值为，x的集合为.(2)将ysin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得ysin x的图像；然后将ysin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)sin的图像. 辅助角公式asin xbcos xsin(x)可以把含sin x，cos x的一次式化为Asin(x)的形式，其中所在象限由点(a，b)决定，大小由tan 确定.研究形如f(x)asin xbcos x的性质都要用到该公式.2求ysin xcos x的最小正周期、最值及单调递增区间解原式222sin
11、.所以此函数的最小正周期为2，ymax2，ymin2.令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.所以ysin xcos x的单调递增区间为，kZ.1两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的，均为任意角(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例2两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3使用和(差)公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .1.的值是()ABC1DA原式.2若
12、cos ，是第三象限的角，则sin()ABCDA因为cos ，为第三象限角，所以sin ，由两角和的正弦公式得sinsin cos cos sin .3函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2BC1,1DBf(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函数f(x)的值域为，故选B4sin 155cos 35cos 25cos 235_.原式sin 25cos 35cos 25sin 35sin(2535)sin 60.5设ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，求C解因为mn1cos(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)1cos(AB)又ABC，整理得sin，因为0C，所以C，所以C，所以C.