1、微专题76 圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标 （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知
2、要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为。 （1）求的值 （2）上是否存在点，使得当绕旋转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标和的方程，若不存在，说明理由解：（1） 则，依题意可得：，当的斜率为时 解得： 椭圆方程为： （2）设， 当斜率存在时，设 联立直线与椭圆方
3、程： 消去可得：，整理可得： 因为在椭圆上 当时， 当时，当斜率不存在时，可知 ，则不在椭圆上综上所述：，或，例2：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由的周长可得： 椭圆（2）假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线斜率存在，设，与圆相切 即联立方程： 对任意的均成立将代入可得： 存在符合条件的圆，其方程为：当斜率不存在时，可知切线为若，则 符合题意若，同理可得也符合条件综上所述
4、，圆的方程为：例3：已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形（1）求椭圆的方程（2）若分别是椭圆长轴的左，右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明是定值（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）四边形是边长为2的正方形可得： 椭圆方程为（2）由椭圆方程可得：，由可设，与椭圆方程联立可得：由韦达定理可知：代入直线可得：设若以为直径的圆恒过直线的交点，则恒成立，存在定点例4：设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2
5、）过点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解：（1）与圆相切 将代入椭圆方程可得：椭圆方程为：（2）由椭圆方程可得：设直线，则联立直线与椭圆方程：消去可得：同理：联立直线与椭圆方程：消去可得：因为四边形的对角线互相平分四边形为平行四边形解得：存在直线时，四边形的对角线互相平分例5：椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中（1）求椭圆的离心率的取值范围（2）设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在
6、常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设由可得：代入可得： （2）当时，可得：双曲线方程为，设，当轴时， 因为所以，下面证明对任意点均使得成立考虑由双曲线方程，可得：结论得证时，恒成立例6：如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对于任意直线，恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1） 椭圆方程为由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：点在椭圆上 椭圆方程为（2）当与轴平行时，由对称性可得：即在的中垂线上，即位于轴上，
7、设当与轴垂直时，则 可解得或不重合 下面判断能否对任意直线均成立若直线的斜率存在，设，联立方程可得：由可想到角平分线公式，即只需证明平分只需证明 因为在直线上，代入可得：联立方程可得：成立平分 由角平分线公式可得：例7：椭圆的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：为直径的圆经过 由在椭圆上，代入椭圆方程可得：椭圆方程为（2）假设存在轴上两定点，设直线 所以依题意： 因为直线与椭圆相切，联立方程：由直线与椭
8、圆相切可知化简可得：，代入可得：，依题意可得：无论为何值，等式均成立所以存在两定点：例8：已知椭圆的左右焦点分别为，点是上任意一点，是坐标原点，设点的轨迹为（1）求点的轨迹的方程（2）若点满足：，其中是上的点，且直线的斜率之积等于，是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点的坐标为，点的坐标为，则由椭圆方程可得： 且 代入到可得：（2）设点， 设直线的斜率分别为，由已知可得：考虑是上的点 即的轨迹方程为，由定义可知，到椭圆焦点的距离和为定值为椭圆的焦点 所以存在定点例9：椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦
9、点与交于，与交于（1）求椭圆及抛物线的方程（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设的公共焦点为 （2）设直线，与椭圆联立方程：直线与抛物线联立方程： 是焦点弦 若为常数，则 例10：如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为（1）求椭圆的方程（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得： 当与轴垂直且为右焦点时，为通径 （2）思路：本题若直接用用字母表示坐标并表示，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与的坐标。因为要
10、满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得为定值。解：（2）假设存在点，设若直线与轴重合，则若直线与轴垂直，则关于轴对称设，其中，代入椭圆方程可得： ，可解得： 若存在点，则。若，设设，与椭圆联立方程可得：，消去可得：，同理：代入可得：所以为定值，定值为若，同理可得为定值综上所述：存在点，使得为定值三、历年好题精选1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是（1）求椭圆的方程（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标（3）是否存在实数，使得恒成立？（点为直线恒
11、过的定点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，是椭圆上的一点（1）求椭圆的方程（2）设分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率之积为，设与的面积分别为，请问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由3、已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和（1）求椭圆的方程（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为 证明：为定值 是否存在实数，使得？如果存在，求直线的方程；如果不存在，请说明理由4、已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足 （1）求点的
12、轨迹的方程（2）过点作直线，与曲线交于两点，是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由5、（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为， （1）求双曲线的离心率（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由习题答案：1、解析：（1） 椭圆过点 ，再由可解得： 椭圆方程为： （2）设切点坐标为，直线上一点，依题意可得：两条切线方程为： ，由切线均过可得：均在直线上因为两点唯一确定一条直线，即过
13、定点，即点的坐标为（3）联立方程： ，不妨设 ，使得恒成立2、解析：（1）抛物线的焦点为 依题意可知： 椭圆方程为： （2）由（1）可得：，若直线斜率存在设， 到直线的距离 到直线的距离 联立方程： （*） ，代入到（*）可得： 或 当时，交点与重合，不符题意，代入到可得： ，即 3、解：（1）依题意可知：可得：椭圆方程为：，代入可得：椭圆方程为：（2） 证明：设，线段的中点设直线的方程为：，联立方程： 化为：由解得： 且 假设存在实数，使得，则即因为在椭圆上，所以，矛盾所以不存在符合条件的直线4、解析：（1）由可得为的中点，且 为的中垂线 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其半长轴长为，半焦距 轨迹方程为： （2）因为 四边形为平行四边形若，则四边形为矩形，即 若直线的斜率不存在，则 联立方程：，即 故不符合要求 若直线的斜率存在，设 由 ，解得： 所以存在或，使得四边形的对角线相等5、解析：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 （2）若直线不与轴垂直，设联立方程： ，同理可得设直线与轴交于 即 由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知： 由（1）可得双曲线方程为：联立与双曲线方程： 因为与双曲线相切 整理可得： 所以 双曲线方程为：存在一个总与相切的双曲线，其方程为