1、7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广学 习 目 标核 心 素 养1了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角(一般)2理解象限角的概念(重点)3掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置(重点、难点)1通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养2借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象、数学运算核心素养.周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习问题小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？提示时针转了45，分针转了540.1角的概念(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所
2、形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边由于是旋转生成的，也称为转角(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转而形成的角负角按顺时针方向旋转而形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.角的加减法运算的几何意义表示在角的基础上，逆时针旋转角度；表示在角的基础上，顺时针旋转角度思考：用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？提示在表示时第二次旋转的是角的终边3象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上这时，角的终边(除端点外)在第几象限，就把这个角称为第几象限角如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任
3、何象限4终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和拓展对于集合S|k360，kZ的理解应注意三点：(1)是任意角(2)“kZ”有三层含义：特殊性：k每取一个整数值就对应一个具体的角；一般性：表示所有与角终边相同的角(包括自身)；从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k0时，没有旋转(3)集合中“k360”与“”之间用“”连接，如30k360应看成(30)k360，表示与30角终边相同的角思考：相等的角终边相同吗？反过来，终边相同的角相等吗？提示相等的角
4、终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍1思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)经过1小时，时针转过30.()(2)终边与始边重合的角是零角()(3)小于90的角是锐角()提示(1).因为是顺时针旋转，所以时针转过30.(2).终边与始边重合的角是k360(kZ)(3).锐角是指大于0且小于90的角答案(1)(2)(3)2钟表的分针在一个半小时内转了()A180B180C540D540D钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过360，当分针转过一个半小时时，它转了540.3下列各角中，与330角的终边相同的角是()A510B150C150D390D与
5、330终边相同的角的集合为S|330k360，kZ，当k2时，330720390，故选D4下列说法：第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中错误的序号为_(把错误的序号都写上)由象限角定义可知都不正确任意角的概念【例1】(1)下列说法正确的是()A终边相同的角一定相等B钟表的时针旋转而成的角是负角C终边相同的角之间相差180的整数倍D大于90的角都是钝角(2)给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第三象限角；315是第一象限角其中是真命题的有()A1个B2个C3个D4个(1)B(2)C(1)终边相同的角不
6、一定相等，可能相隔k360(kZ)，A错；钟表的时针是顺时针旋转，故是负角，所以B对；终边相同的角之间相差360的整数倍，C错；20090但200不是钝角，D错(2)90750，第四象限角，正确；180225270，第三象限角，正确；36090475360180，第二象限角，错误；360315270，第一象限角，正确；所以这四个命题中真命题有3个1理解角的概念的三个“明确”常见角的范围：锐角090，钝角90180，直角90，平角180，周角360.2判断角的概念型问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错
7、误只要举出反例即可提醒：解答概念辨析题，一是利用反例排除错误答案，只需举一个反例即可，二是利用定义直接判断1(1)已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是()AABCBACC(AC)BD(BC)C(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_(1)D(2)120(1)第一象限角可表示为k360k36090，kZ；锐角可表示为090；小于90的角可表示为90；由三者之间的关系可知，选D(2)由于顺时针旋转，分针每分钟转6，所以20分钟转了120.终边相同的角的表示及应用【例2】在角的集合S|k9045，kZ中，(1)有几种终边不相同的角；(2)在集合S中有几个在360，3
8、60)内的角解(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种，分别是与45，135，225，315角的终边相同的角(2)令360k9045360，得k.又因为kZ，所以k4，3，2，1,0,1,2,3.所以在360，360)内的角共有8个确定在某范围内终边相同的角的基本思路求与已知角终边相同的角时，先将这样的角表示成k360(kZ)的形式，然后采用赋值法求出满足条件的角，或通过解不等式，确定k的值，求出满足条件的角2.如图所示，写出终边落在直线yx上的角的集合解终边落在yx(x0)上的角的集合为S1|60k360，kZ，终边落在yx(x0)上的角的集合为S2|240k360，kZ于是，终边落
9、在直线yx上的角的集合为SS1S2|60k360，kZ|240k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZr|r60n180，nZ象限角及其应用角度一用不等式组表示角的集合【例3】如图所示(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解(1)终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大的顺序分别标出起始
10、和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：扇形区域起始、终止边界对应角，再加上k360(kZ)，即得区间角集合对顶区域，始边、终边再加上k180(kZ)即得区间角集合3.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合解在180180内落在阴影部分角的集合为大于45小于45，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为|45k36045k360，kZ角度二n或所在象限的判定探究问题1由角所在象限如何求(kN*)所在象限？提示(1)代数推导法：先表示为角所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定如：当角在第二象限时，90k360180k360，kZ，则3
11、0k12060k120，kZ，所以在第一、二、四象限(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当在第n象限时，就在n号区域例如：当角在第二象限时，在图k2时的2号区域，在图k3时的2号区域但此规律有局限性，如在已知角的范围求角2的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别具有怎样的关系？提示(1)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是180k360，kZ.(2)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系是k360，kZ.(3)关
12、于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是180k360，kZ.(4)关于直线yx对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关系是90k360，kZ.【例4】(1)若是第四象限角，则180是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)已知为第二象限角，判断下列角是第几象限角2；.思路探究(1)可通过写出的取值范围，逐步求得180范围来求解；(2)由的范围写出2，的范围后，直接求得2的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置(1)C因为是第四象限角，则角应满足：k36090k360，kZ，所以k360k36090，则k360180180k36090180，kZ，当k
13、0时，180180270，故180为第三象限角(2)解因为是第二象限角，所以90k360180k360，kZ，所以1802k36023602k360，kZ，所以2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角法一：因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，所以45k18090k180(kZ)当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)，所以是第一象限角；当k2n1(nZ)时，225n360270n360(kZ)，所以是第三象限角故是第一或第三象限角法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的
14、区域，故为第一或第三象限角(变结论)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？解因为是第二象限角，所以90k360180k360，kZ，所以30k12060k120，kZ.当k3n，nZ时，30n36060n360，nZ，此时为第一象限角；当k3n1，nZ时，150n360180n360，nZ，此时为第二象限角；当k3n2，nZ时，270n360300n360，nZ，此时为第四象限角所以为第一、第二或第四象限角已知范围，求n或的范围(1)已知范围，求n所在象限时，用不等式表示出来，再查找不等式的范围即可，注意结果可能不只有象限角，还可能有轴线角.(2)已知范围，求所在象限时，可以把每个象限等分
15、为n份，再按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.1本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解2会写终边相同的角、区域角3关注2种思想(1)n所在象限的判断方法注意转化思想的运用；(2)所在象限的判断方法注意分类讨论思想的运用4辨明2个易错点(1)象限角是以角的终边的位置分类的，而锐角、钝角和直角是以角的大小分类的，不能将它们混淆同时要注意第一象限角、锐角、小于90的角三者的区别；(2)用分类讨论法解决分角象限问题时要注意找准分类角度，分类要做到不重不漏，切忌以偏概全1以下说法正确的是()A若是第一象限角，则2是第二象限角BA|k180，kZ，B|k90，kZ，则ABC若k360k3601
16、80(kZ)，则为第一或第二象限角D终边在x轴上的角可表示为k360(kZ)B对于选项B：集合A|k180，kZ|2k90，kZ，B|k90，kZ，所以AB，故选B2如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()A|k36030k36045，kZB|k180150k180225，kZC|k360150k360225，kZD|k36030k18045，kZC在0360内落在阴影部分角的范围为大于150而小于225，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为|k360150k360225，kZ3一角为30，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为_1 110按逆时针方向旋转得到的角是
17、正角，旋转三周则得3033601 110.4(一题两空)已知0360，且与600角终边相同，则_，它是第_象限角240三因为600360240，所以240角与600角终边相同，且180240270，故240，它是第三象限角5在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角(1)120；(2)640.解(1)与120终边相同的角的集合为M|120k360，kZ当k1时，1201360240，所以在0到360范围内，与120终边相同的角是240，它是第三象限的角(2)与640终边相同的角的集合为M|640k360，kZ当k1时，640360280，所以在0到360范围内，与640终边相同的角为280，它是第四象限的角