1、专题五 数列第二讲 数列求和及综合应用（一）考点解读高考考点考点解读求数列的通项公式1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式，已知等差（比）的某些项或前几项的和，求其通项公式2.考查等差（比）数列的概念以及通项公式、前n项和公式等求数列的前n项和1.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、分组求和2.以递推数列、等差（比）数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法与数列的和有关的综合应用1.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和2.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等（二）核心知识整合考点1：求数列的
2、通项公式(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系，利用an求an(3)累加法：数列递推关系形如an1anf(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)(4)累乘法：数列递推关系形如an1g(n)an，其中数列g(n)前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)(5)构造法：递推关系形如an1panq(p，q为常数)可化为an1p(an)(p1)的形式，利用an是以p为公比的等比数列求解；递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式 典型例题1.已知各项都为正数的数列满足.（1）证明：数
3、列为等比数列.（2）若，求的通项公式. 解析 （1）因为，所以，又数列各项都为正数，所以，所以.所以数列为等比数列，公比为3.（2）由（1）知，则，又，所以，所以，.2.设数列前项和为，若，且(1)求的通项公式(2)设，求前项的和.解析 (1)因为，且 当时，得或(舍)；当时， 由得，因为，所以，可得，所以是以3为首项，公差为的等差数列，所以.(2)由(1)中结论得，所以.提醒：数列的通项公式和函数表达式一样，可以由一个表达式给出，也可以分段由几个表达式给出.若已知一个数列的前n项和，则其通项公式为只有，满足的情形，通项公式才可以统一写成.跟踪训练1.在数列中,.(1)证明:数列为等比数列,并
4、求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.解析 (1)因为,所以，又,所以,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.所以,所以数列的通项公式.(2)由(1)得,所以,由-得,所以.2.已知数列的前n项和为，且.（1）求；（2）若，求数列的前n项和. 解析 （1）因为，所以.因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列.所以，故.当时，当时，也符合上式，所以.（2）由（1）可得.故，所以 ，整理可得.考点2：求数列的前n项和1.分组求和法分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法将数列的通项an分成两
5、个代数式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法形如(其中an是公差d0且各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等3错位相减法形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和4倒序求和法距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思 (1)常见的拆项公式(其中nN*)若等差数列an的公1差为d，则(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式，如123n；135(2n1)n2；122232n2n(n1)(2n1) 典型例题1.已知为等差数列的前n项和，（
6、1）求；（2）记数列的前n项和为，证明： 解析 (1)设等差数列的公差为d，则，由题意，有，得，（2），2.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和. 解析 （1） -得，则，在式中，令，得.数列是首项为2，公比为2的等比数列，.（2）. 所以，则 ，-得， .规律总结1分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(1)n等特征2裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘anbn型数列求和(2)
7、步骤：求和时先乘以数列bn的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式跟踪训练1.已知数列满足：，且对任意正整数m，n，恒成立.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和. 解析 （1）因为对任意正整数m,n,恒成立，所以时，有对任意正整数n恒成立，又，所以，即是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以，所以，两边乘以，得，两式相减，得，所以.2. 已知数列是等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和. 解析 （1）由题意得，所以，时，公差，所以，时，公差，所以.（2）若数列为递增数列，则，所以，所以，所以，所以.考点3：与数列的
8、和有关的综合应用数列与函数、不等式的综合问题的常见题型(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题 典型例题1.已知是等差数列，是函数的两个不同零点.（1）求数列的通项公式;（2）若，求.解析 （1）设数列的公差为.，是函数的两个不同零点，.，解得，或.若，则，不合题意，舍.所以，.（2），即，.由得，即.,，.，即，或
9、.当时，结论不成立，舍.所以，因此.2.已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.（1）求数列的前n项和；（2）求数列的通项公式，并求使得的n的取值范围.解析 （1）设等比数列的公比为q，由是等差数列的前三项，得，即， 所以，整理得，解得. 由，得，所以， 所以. （2）由（1）得，所以，所以等差数列的前三项为，所以. 由，得，即. 令，故有.当时，即； 当时，即，而.所以使得的n的取值范围是，. 规律总结数列与函数、不等式的综合问题的常见题型(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题
10、，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题提醒：解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化跟踪训练1. 已知等差数列中，。(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明： 解析 （1）设数列的公差为，由题意有，解得.故数列的通项公式为.（2）2. 已知等差数列中,.(1)求的通项公式.(2)设数列的前项和为,求证：.解析 (1)解：设等差数列的公差为,则.,.(2)证明：由(1)知,.令,由函数的图像(图略)可知,
