1、12.1 任意角的三角函数(一)明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等1任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：y 叫做 的正弦，记作 sin_，即 sin_y；x 叫做 的余弦，记作 cos_，即 cos_x；yx叫做 的正切，记作 tan_，即 tan yx(x0)对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余
2、弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数(2)设角 终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为 r，则 sin yr，cos xr，tanyx.2正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(k2)sin_，cos(k2)cos，tan(k2)tan，其中 kZ.情境导学 在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题探究点一 锐角三角函数的定义思考 1
3、 如图，RtABC 中，C90，若已知 a3，b4，c5，试求 sin A，cos B，sin B，cos A，tan A，tan B 的值答 sin Acos Bac35；sin Bcos Abc45；tan Aab34；tan Bba43.思考 2 如图，锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在 终边上任取一点 P(a，b)，它与原点的距离为 r，作 PMx 轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出 sin，cos，tan 吗？答 sin br，cos ar，tan ba.思考 3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆锐角 的终边与单
4、位圆交于 P(x，y)点，则有：sin y，cos x，tan yx.探究点二 任意角三角函数的概念思考 1 任意角三角函数是怎样定义的？单位圆定义法：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：y 叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y；x 叫做 的余弦，记作 cos，即 cos x；yx叫做 的正切，记作 tan，即 tanyx(x0)终边定义法：设角 终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为 r，则有 sin yr，cos xr，tanyx(x0)，其中 r x2y2 0.思考 2 对于确定的角，这三个比值是否会随点 P 在 的终边上的位置的改变而改变呢？
5、答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角 的终边位置有关，即与角有关，与角 终边上点 P 的位置无关思考 3 在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数(2)当 2k(kZ)时，的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tanyx无意义，除此情况外，对于确定的值，上述三个值都是唯一确定的实数(3)当 是锐角时，此定义与初中定义相同；当 不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，
6、终边就必然与单位圆有交点 P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值例 1 求53 的正弦、余弦和正切值解 在直角坐标系中，作AOB53，AOB 的终边与单位圆的交点坐标为12，32，所以 sin 53 32，cos 53 12，tan 53 3.反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点 P 的横坐标 x、纵坐标 y、点 P 到原点的距离 r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论跟踪训练 1 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y.答案 8解析 因为
7、 sin y42y22 55，所以 y0)，因此 sin 的符号与 y 的符号相同，当 的终边在第一、二象限时，sin 0；当 的终边在第三、四象限时，sin 0)，因此 cos 的符号与 x 的符号相同，当 的终边在第一、四象限时，cos 0；当 的终边在第二、三象限时，cos 0，tan 0；当 终边在第二、四象限时，xy0，tan 0，cos 0，sin cos 0.(2)285是第四象限角，sin 2850，105是第三象限角，cos(105)0.(3)23，40，cos 40，sin 3cos 4tan2340.反思与感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象
8、限的符号是解决这类问题的关键可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆跟踪训练 2 已知 cos tan 0，那角 是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角答案 C解析 cos tan 0，cos 0 或cos 0tan 0.由cos 0，得角 为第三象限角由cos 0tan 0，得角 为第四象限角角 为第三或第四象限角探究点四 诱导公式一思考 1 诱导公式一是什么？答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等由此得到诱导公式一：sin(k360)sin，cos(k360)cos，tan(k360)tan，其中 kZ，或
9、者：sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan，其中 kZ.思考 2 诱导公式一的作用是什么？答 把求任意角的三角函数值转化为求 0360的三角函数值例如：sin 420sin 60 32；cos(330)cos 30 32；tan(315)tan 451.例 3 求下列各式的值(1)cos 253 tan154；(2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495.解(1)原式cos83 tan44cos 3tan 412132.(2)原式sin(4360120)cos(336030)cos(336060)sin(236030)t
10、an(360135)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 135 32 32 121210.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，也可把大于2 的角的三角函数化为 0 到 2 间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”同时要熟记特殊角的三角函数值跟踪训练 3 求下列各式的值：(1)cos233tan 174；(2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540.解(1)原式cos342 tan422cos 3tan 412132.(2)原式sin(360270)tan(336045)tan(236045)cos(360180
11、)sin 270tan 45tan 45cos 18011110.1已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos 等于()A.45B.35C35D45答案 D解析 因为角 的终边经过点(4,3)，所以 x4，y3，r5，所以 cos xr45.2如果角 的终边过点 P(2sin 30，2cos 30)，则 cos 的值等于()A.12B12C 32D.32答案 A解析 2sin 301，2cos 30 3，r2，cos 12.3若点 P(3，y)是角 终边上的一点，且满足 y0，cos 35，则 tan 等于()A34B.34C.43D43答案 D解析 cos 332y235，32y25，y21
12、6，y0，则 是第一、二象限的角；若 是第二象限的角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cos xx2y2，其中正确的个数为()A0B1C2D3答案 B解析 只有正确2当 为第二象限角时，|sin|sin cos|cos|的值是()A1B0C2D2答案 C解析 为第二象限角，sin 0，cos 0.|sin|sin cos|cos|sin sin cos cos 2.3角 的终边经过点 P(b,4)且 cos 35，则 b 的值为()A3B3C3D5答案 A解析 r b216，cos br bb21635.b3.4若 tan x0，且 sin xcos x0，则角 x 的终边在()A第一象限
13、B第二象限C第三象限D第四象限答案 D解析 tan x0，角 x 的终边在第二、四象限，又 sin xcos x0，角 x 的终边在第四象限故选 D.5若三角形的两内角，满足 sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能答案 B解析 sin cos 0，cos 0，为钝角6已知 sin tan 0，则角 位于第象限答案 二或三解析 由 sin tan 0，tan 0 或sin 0.由 sin 0，tan 0 知 为第二象限角；由 sin 0 知 为第三象限角7化简下列各式：(1)sin 72cos 52cos(5)tan 4；(2)a2sin
14、810b2cos 9002abtan 1 125.解(1)原式sin 32cos 2cos 110111.(2)原式a2sin 90b2cos 1802abtan45a2b22ab(ab)2.二、能力提升8若 tan 0，则()Asin 20Bcos 0Csin 0Dcos 20答案 A解析 tan 0，(k，k2)(kZ)是第一、三象限角sin，cos 都可正、可负，排除 B，C.而 2(2k，2k)(kZ)，取 4，则 tan 10，而 cos 20，故 D 不正确故选 A.9已知 终边经过点(3a9，a2)，且 sin 0，cos 0，则 a 的取值范围为答案 20，cos 0，位于第二
15、象限或 y 轴正半轴上，3a90，a20，2a3.10若角 的终边与直线 y3x 重合且 sin 0，又 P(m，n)是 终边上一点，且|OP|10，则 mn.答案 2解析 y3x，sin 0，点 P(m，n)位于 y3x 在第三象限的图象上，且 m0，n0，n3m.|OP|m2n2 10|m|10m 10.m1，n3，mn2.11已知函数 f(x)2cos2k 12x，kZ，xR，求 f(3)的值解 f(3)2cos2k4 2cos 41.12判断下列各式的符号：(1)sin 340cos 265；(2)sin 4tan234；(3)sincos cossin(为第二象限角)解(1)340是
16、第四象限角，265是第三象限角，sin 3400，cos 2650.(2)432，4 是第三象限角，234 64，234 是第一象限角sin 40，sin 4tan2340.(3)为第二象限角，0sin 12，21cos 0，sin(cos)0，sincos cossin 0.三、探究与拓展13在平面直角坐标系中，角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin 3cos tan 的值解 当 的终边在第二象限时，取终边上的点 P(4,3)，OP5，sin 35，cos 45，tan 3434，所以 sin 3cos tan 35125 3494.当 的终边在第四象限时，取终边上的点 P(4，3)，OP5，sin 35 35，cos 45，tan 34 34，所以 sin 3cos tan 35125 34154.