1、3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系(难点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集(重点、难点)1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养2通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养3利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养.1函数的零点(1)函数零点的概念：一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称实数为函数yf(x)的零点(2)三者之间的关系：函数f(x)的
2、零点函数f(x)的图像与x轴有交点方程f(x)0有实数根2二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax2bxc0(a0)的解是函数f(x)ax2bxc的零点(2)ax2bxc0(a0)的解集是使f(x)ax2bxc的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2bxc0(a0)的解集是使f(x)ax2bxc的函数值为负数的自变量x的取值集合3图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；(2)求出其对应的二次函数的零点；(3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集 1函数y1的零点是()A(1,0)Bx1Cx1 Dx0B令10解得x1，故选B.2根
3、据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)C令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内3若f(x)x2mx1的函数值有正值，则m的取值范围是()Am2或m2 B2m2Cm2 D1m3Af(x)x2mx1有正值， m240，m2或m2.4不等式0的解集为_1,1)原不等式等价于(x1)(x1)0，且x10，1x1.函数的零点及求法【例
4、1】求函数f(x)x37x6的零点解令f(x)0，即x37x60，(x3x)(6x6)0，x(x1)(x1)6(x1)(x1)(x2x6)(x1)(x2)(x3)0，解得x11，x22，x33，函数f(x)x37x6的零点是1,2，3. 求函数yf(x)的零点通常有两种方法：一是令y0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.1如图所示是一个二次函数yf(x)的图像(1)写出这个二次函数的零点；(2)试比较f(4)f(1)，f(0)f(2)与0的大小关系解(1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是3,1.(2)根据图像可
5、知，f(4)f(1)0，f(0)f(2)0. 二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 【例2】利用函数求下列不等式的解集：(1)x25x60；(2)(2x)(x3)0；(3)4(2x22x1)x(4x)解(1)方程x25x60的两根为x11，x26.结合二次函数yx25x6的图像知，原不等式的解集为(，1)(6，)(2)原不等式可化为(x2)(x3)0.方程(x2)(x3)0的两根为x12，x23.结合二次函数y(x2)(x3)的图像知，原不等式的解集为(，3)(2，)(3)由原不等式得8x28x44xx2，即9x212x40.解方程9x212x40，解得x1x2.结合二次函数y9x212
6、x4的图像知，原不等式的解集为. 利用函数求不等式解集的基本步骤(1)把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；(2)计算其对应一元二次方程的根的判别式；(3)求其对应一元二次方程的根；(4)写出解集(大于取两边，小于取中间).2利用函数求下列不等式的解集：(1)2x27x30；(2)x28x30；(3)x24x50；(4)4x218x0.解(1)对于方程2x27x30，因为72423250，所以方程2x27x30有两个不相等的实数根，x13，x2.又因为二次函数y2x27x3的图像开口向上，所以原不等式的解集为(，3).(2)对于方程x28x30，因为824(1)(3)520，所以方
7、程x28x30有两个不相等的实数根，x14，x24.又因为二次函数yx28x3的图像开口向下，所以原不等式的解集为(4，4)(3)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为(1,5)(4)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.用函数零点法求一元高次不等式的解集【例3】求函数f(x)(x1)(x2)(x3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集解函数的零点为3,1,2.函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示x(，3)(3,1)(1,2)(2，)f(x)由此可以画出此函数的示意图如图由图可知，f(x)0的解集为3,12，)，f(x
8、)0的解集为(，3)(1,2)解题步骤：(1)求出零点；(2)拆分定义域；(3)判断符号；(4)写出解集.注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间.3求函数f(x)(1x)(x2)(x2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集解函数的零点为2,1,2.函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示x(，2)(2,1)(1,2)(2，)f(x)由此可以画出此函数的示意图如图由图可知，f(x)0的解集为(，21,2，f(x)0的解集为(2,1)(2，)1方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点
9、的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标2二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax2bxc0(a0)的解是函数f(x)ax2bxc的零点(2)ax2bxc0(a0)的解集是使f(x)ax2bxc的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2bxc0(a0)的解集是f(x)ax2bxc的函数值为负数的自变量x的取值集合3图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；(2)求出其对应的二次函数的零点；(3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集1下列图像表示的函数中没有零点的是()AB，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点2方程5x27x10的根所在的区间是()A(1,0) B(1,2)C一个根在(1,0)上，另一个根在(1,2)上 D一个根在(0,1)上，另一个根在(2，1)上 C f(1) f(0)0, f(1) f(2)0，选C.3函数f(x)x零点的个数是()A0B1C2D3C令x0，即x210，x1.f(x)x的零点有两个. 4函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_4f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3)可知零点为1，2,3，共4个