1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。4.3等 比 数 列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念必备知识自主学习导思1.什么是等比数列？什么是等比中项？2等比数列的通项公式是什么？3等比数列与指数函数有什么关系？1.等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q0).(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？提示：因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”(2)怎样利用
2、递推公式表示等比数列？提示：q(n2)或q(q0).2等比中项在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？提示：a与b同号，满足的关系式是G2ab.3等比数列的通项公式首项为a1，公比是q(q0)的等比数列的通项公式为ana1qn1等比数列的通项公式ana1qn1与指数函数f(x)ax(a0，a1)有什么联系？提示：ana1qn1qn，当q0且q1时，等比数列an的第n项an是指数型函数f(x)qx(xR)在xn时的值，即anf(n).数列an图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的
3、图象上反之指数函数f(x)axaax1(a0，a1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列aan11辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()提示：(1)根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)当常数列不为零时，该数列才是等比数列(4)当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项2(多选题)下列数列为等比数列的有()A.2，22，3
4、22B.，(a0)C.s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)5D.1，1，1，1，1【解析】选BD.，所以A不是等比数列；B是首项为，公比为的等比数列；C中，当s1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；D显然是等比数列3等比数列an中，a22，a5，则公比q()A B C D【解析】选C.由q得a2a1q2，a5a4qa3q2a2q3a1q4，所以得q3，所以q.4等比数列x，3x3，6x6，的第4项是_【解析】由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第4项为24.答案：24关键能力合作学习类型一等比
5、数列的通项公式及应用(数学运算)1在等比数列an中，a1，q，an，则项数n为()A3 B4 C5 D6【解析】选C.因为ana1qn1，所以，即，解得n5.2已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_【解析】由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa10(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案：2n3在等比数列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.【解析】(1)由等比数列的通项公式得a63(2)6196.(2)
6、设等比数列的公比为q，则解得所以ana1qn152n1.等比数列通项公式的求法1根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；2充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算【补偿训练】1若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A4 B8 C6 D32【解析】选C.由等比数列的通项公式，有12842n1，2n132，所以n6.2若an为等比数列，且3a4a62a5，则公比是_【解析】设公比为q(q0)，则3a1q3a1q52a1q4，因为a1q30，所以q22q30，解得q1或q3.答
7、案：1或33在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为5，15，45，求a5；(2)若a42，a78，求an.【解析】(1)因为a5a1q4，而a15，q3，所以a5405.(2)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12类型二等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)【典例】已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项四步内容理解题意条件：b是a，c的等比中项结论：abbc是a2b2与b2c2的等比中项思路探求证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可书写表达证明：b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b
8、2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项题后反思a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0)等比中项应用需注意的问题1由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；2在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项1如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9C.b3，ac9 Db3，ac9【解析】
9、选B.因为b2(1)(9)9，且b与首项1同号，所以b3，且a，c必同号所以acb29.2.1与1的等比中项是_【解析】设x为1与1的等比中项，则x2(1)(1)1，所以x1.答案：1类型三等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)角度1已知递推公式证明等比数列【典例】已知数列an满足a11，an12an1.(1)证明：数列an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式【思路导引】(1)确定相邻两项的差为常数；(2)先求(1)中等比数列的通项公式【解析】(1)因为an12an1，所以an112(an1).由a11，知a110，从而an10.所以2(nN*).所以数列an1是等比数列(2)由(1)
10、知an1是以a112为首项，2为公比的等比数列所以an122n12n.即an2n1.角度2已知前n项和判断是否为等比数列【典例】已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列【思路导引】如何由前n项和公式得通项公式？a1是否适合anSnSn1(n2)？需要检验吗？【解析】anSnSn12na2n1a2n1(n2).当n2时，2；当n1时，.故当a1时，数列an成等比数列，其首项为1，公比为2；当a1时，数列an不是等比数列将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列【证明】因为Sn2an，所以Sn12an1，所以an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1
11、，所以an1an.又因为S12a1，所以a110.又由an1an知an0，所以，所以an是等比数列判断一个数列an是等比数列的方法(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列；(2)等比中项法：对于数列an，若aanan2且an0，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列证明只能使用前两个方法，判断可以使用上述三个方法1数列an满足a11，且an3an12n3(n2，3，).(1)求a2，a3，并证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)a
12、23a12234，a33a223315.3(n1，2，3，).又a112，所以数列ann是以2为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)知ann23n1，所以ann23n1.2已知数列an的前n项和Sn2an1，求证：an是等比数列，并求出通项公式【解析】因为Sn2an1，所以Sn12an11.所以an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.所以an12an.又因为S12a11a1，所以a110，又由an12an知an0，所以2，所以an是首项为1，公比为2的等比数列所以an12n12n1.备选类型三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)【典例】设四个实数依次成等比数列，其积为2
13、10，中间两项的和是4，则这四个数分别为多少？【思路导引】利用等比数列的特征设出四个数，使它们相乘时式子简便【解析】设这四个数依次为，a，aq，aq2(q0)，根据题意得解得q2或，当q2时，a4，所求四个数依次为2，4，8，16.当q时，a8，所求四个数依次为16，8，4，2，综上，这四个数依次为2，4，8，16或16，8，4，2.三个数或四个数成等比数列的设法解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q0).若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，aq，aq3(q0).1已
14、知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于_【解析】依题意设原来的三个数依次为，a，aq.因为aaq512，所以a8.又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以(aq2)2a，所以2q25q20，所以q2或q，所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.因为4816168428，所以原来的三个数的和等于28.答案：282在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8 000，求这四个数【解析】设前三个数分别为ad，a，ad，则有(ad)a(ad)48，即a16.设后三个数分别为，b
15、，bq，则有bbqb38 000，即b20，所以这四个数分别为m，16，20，n，所以m2162012，n25.即所求的四个数分别为12，16，20，25.课堂检测素养达标1下列各组数成等比数列的是()1，2，4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.A BC D【解析】选D.由等比数列的定义，知是等比数列中当x0时，不是等比数列2等比数列4，6，9，的公比为()A B C2 D3【解析】选B.由等比数列的定义知，q.3(2021浙江高考)已知a，bR，ab0，函数f(x)ax2b(xR).若f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是()
16、A直线和圆 B直线和椭圆C直线和双曲线 D直线和抛物线【解析】选C.因为f(st)，f(s)，f(st)成等比数列，所以f(st)f(st)f(s)2，即a(st)2ba(st)2b(as2b)2，整理得t2(at22b2as2)0，所以t0或at22b2as20.当t0时，平面上点(s，t)的轨迹为直线；当at22b2as20时，即1，平面上点(s，t)的轨迹为双曲线综上所述，平面上点(s，t)的轨迹为直线和双曲线4在数列中，a11，an13an，则a4等于()A9 B10 C27 D81【解析】选C.由题意，在数列中，a11，an13an，即a11，3，可得数列表示首项a11，公比q3的等比数列，所以a4a1q313327.关闭Word文档返回原板块